Расположение корней квадратного трехчлена

Расположение корней квадратного трехчлена.

Пусть числа х1 и х2 – корни квадратного трехчлена f(x)= ax2+bx +c, причем х12 , D=b2-4ac≥0 , а≠0 и даны А и В – некоторые точки на оси Ох. Тогда:

Теорема 1. Оба корня меньше числа А, то есть х12

$

а>0 (1) а

х0 = -b/2a или х0 = — b/2a

f $(A) > 0 (3) f(A)

Если в первой системе объединить условия (1) и (3) , а во второй условия (4) и (6), то получим новую систему :

x0= -b/2a

a∙ f(A) >0 .

Теорема 2. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х12 тогда и только тогда, когда

а>0 или a

f (A) f(A) >0

Запишем условия данных систем одним нер$авенством: af(A)

Теорема 3. Оба корня больше числа А, то есть х1>А и х2>А тогда и только тогда, когда

а>0 (1) a

х0 >А (2) или x0 >A (5)

f(A) >0 (3) f(A)

Объединяя в первой системе условия (1) и (3), а во второй системе условия (4) и (6) , получим:

х0 > А,

а∙f(A) >0 .

Теорема 4. Оба корня лежат между числами А и В, то есть А12

a>0 (1) a

Ax0B (2) или A0 B (6)

F (A) >0 (3) f(A)

$f(b) >0 (4) f(B)

Объединив условия (1), (3) и (4) первой системы и условия (5), (7) и (8) второй системы, получим

А 0

af(A) > 0,

af(B) > 0.

Теорема 5. Корни лежат по разные стороны от отрезка [A;B], то есть х12 тогда и только тогда, когда

а>0 a

f(A)или f(A)>0

f(B$)0

Упростив данные системы, получим :

af(A)

a∙f(B)

Рассмотрим вопросы практического применения теорем о знаках квадратного трехчлена и теорем о расположении корней квадратного трехчлена.

Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х2+2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных

положительных корня?

Решение. Так как по условию корни различны, то D>0. Воспользуемся теоремой 1( о знаках

корней квадратного трехчлена). Составим систему :

D= (a+1)2— 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0$,

x1x2=9>0, a

-2∙(a+1)>0.

Решив последнюю систему, получим , что -∞a

Ответ :-$ ∞a

Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х2-4х + (4-а2)=0 имеет два корня разных

знаков?

Решение. Воспользуемся теоремой 2 (о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

4-а2

а2 > 0

│а│> 2 => а 2.

Ответ : а2 .

Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х2 – 2ах + а2 – а- 6 =0 имеет два разных

отрицательных корн$я?

Решение. Воспользуемся теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем

систему :

D>0 , а+6>0,

x0a

f(0)>0 ; a2a-6>0.

Решив последнюю систему, получим -6a

Ответ : -6a

Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного

уравнения

х2 + (4а+5)∙х + 3-2а =0.

Решение. Пусть х1 и х$2 корни квадратного трехчлена, причем х12. Воспользуемся теоремой 2

(о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

D= 16a2 +48a +13 >0,

F(2)= 22 + (4a+5)∙2 +3- 2a

Решив систему, получим 17+6а

Ответ : а

Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения 4х2 – 2х + а =0 находятся между

числами -1 и 1?

Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1, то -112

теоремой 4 ( о знаках корней квадратного трехчлена) и составим систему :

-10= 2/40 ,

4∙(4+2+а)>0, => 2 + а >0 ,

4∙(4 -2+а)>0, 4 – 16а>0;

D=(-2)2 — 4∙4а >0;

Решив систему, получим$ -2

Ответ : -2

Post Comment