Урок алгебры ПО ТЕМЕ «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ»

МОУ ЮЛОВСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

ИНЗЕНСКОГО РАЙОНА УЛЬЯНОВСКОЙ ОБЛАСТИ

УРОК- ЛЕКЦИЯ
ПО АЛГЕБРЕ

( 9 КЛАСС)

ПО ТЕМЕ:

« ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

ПРОГРЕССИЯ».

ВЫП$ОЛНИЛА

УЧИТЕЛЬНИЦА
МАТЕМАТИКИ

Н.И. ЗУБКОВА.

УРОК – ЛЕКЦИЯ

ПО АЛГЕБРЕ ( 9 класс )

ПО ТЕМЕ: «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ»

( 2 УРОКА)

ЦЕЛЬ УРОКА:

1.Расширить знания учащихся о последовательностях, о прогрессиях.

Ввести понятие геометрической прогрессии, рассмотреть свойства ее членов. С доказательством ввести формулу _п$-го члена прогрессии, формулы суммы п первых членов прогрессии. Ввести понятие бесконечной убывающей геометрической прогрессии и формулу суммы ее членов.

2. Способствовать формированию у учащихся логического мышления; вычислительных навыков; внимания и аккуратности при применении определения и формул п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии; самостоятельности. Вызвать интерес у учащихся к математике.

3. Способствовать формированию у учащихся умений выделять из представленных последовательностей геометрическую прогрессию, уметь выполнять вывод и применять при решении задач формулы п-го члена и формул суммы п членов геометрической прогрессии.

ПЛАН УРОКА:

  1. Организационный момент.

  2. Постановка цели урока перед учащимися.

  3. Изучение нового материала и его закрепление.

3.1.Определение геометрической прогрессии

3.2.Вывод формулы п-го члена геометрической прогрессии.

$

3.3.Вывод формулы суммы n— первых членов геометрической прогрессии.

3.4. Определение бесконечной геометрической прогрессии.

3.5. Вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии

при | g$|

3.6. Сообщение ученика.

4. Подведение итогов урока.

5. Домашнее задание.

6. Литература.

ХОД УРОКА.

1.Организационный момент.

2.Постановка цели урока перед учащимися.

Научиться выделять среди всех последовательностей

геометрическую прогрессию и ее свойства, решать задачи по теме.

3.Изучение$ нового материала и его закрепление.

3.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА.

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении первой минуты одна из них делится на две. Запишите колонию, рожденную одной бактерией за семь минут.(см. рисунок).

.

. .

. . . .

. . . . . . . .

1). Выпишите последовательность в соответствии с условием задачи.

1;2;4;8;16;32;64.

или (bп) — последовательность,

b1 =1; b2=2; b3=4; b4=8; b5=16; b6 =32; $b7 =64;

2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.

b3 : b2 =4 : 2=2 ;

b4 : b3 =8 : 4=2;

$b5 : b4 = 16 : 8=2; и т.д.

bп+1: b п =

g -знаменатель прогрессии.

= b2:b1= b3:b2=b4:$b3=…= bп+1: b п

3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.

b2 = 2b1

$b3= 2 b2

b4= 2b3…..

bп+1 = b п

УЧИТЕЛЬ: Такую последовательность в математике называют геометрической прогрессией.

4) Формулировка определения геометрической прогрессии.

Учащиеся пытаются дать определение геометр$ической прогрессии, а учитель помогает им.

5) Работа с учебником.

Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся

читает определение вслух, учитель обращает внимание

учащихся на то, что в определение сказано «члены отличные

от нуля». Как вы думаете почему?

6).Найдите среднее геометрическое чисел 2 и 8; 4и 16; 8и 32;16и 64.

=4

=8

= 16

=32

= bn

Из равенства = b2:$b1= b3:b2=b4:b3=…= bп: b п-1 = bп+1: b п

получим bп: b п-1 = bп+1: b п или b 2п = b п-1 * bп+1 , то

= bn

ВЫВОД: Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название прогрессии.

7) Найдите произведение 1 и 7 членов, 2 и 6 членов, 3 и 5 членов геометрической прогрессии и сравните результаты.

b1*$b 7 = 1 * 64=64

b2*b 6 = 2 * 32=64

$b3*b5 = 4 *16=64

Вывод: b1⋅bп = b2⋅bп-1 = b3$⋅bn – 3 = … , т.е. произведение членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

ЗАДАЧА.1. Дано: ( bn )-геометрическая прогрессия, b1 =3, =2.

Найти: первые пять членов прогрессии.

Решение:

b2 = b1* g = 3*2=6

b3 = b2* g =6*2=12

b4 = b3* g =12*2=24

b5 = b4* g =24*2=48

Ответ: 3; 6;12;24;48.

3.2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ П-ГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

( bn)-геометрическая прогрессия , b1 , g.

b2 = b1* g

b3 = b2* $g = b1* g* g = b1* g2

b4 = b3* g = b1* g2 * g = b1* g3

b5$ = b4* g = b1* g3 * g = b1* $g4

…………………………………………….

b n = b1* gn-1

b n = b1* gn-1

формула п-го члена геометрической прогрессии.

ЗАДАЧА.2. Дано: ( bn)-геометрическая прогрессия, b1 $=8 , =.

Найти: , b6

Решение:

b n = b1* gn-1

b 6 = b1* g6-1

b 6 = 8*( 5 = 8* = .

Ответ: b 6 = .

3.3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ n— ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА 1.

Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: « Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты мне в первый день за 100 000 рублей дашь 1копейку, во второй день за 100 000 рублей – 2копейки и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если выгодна сделка тебе, то с завтрашнего дня и начнем». Купец обрадовался такой сделке. Он подсчитал, что за 30дней получит от незнакомца 3 000 000 рублей. На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку. Кто в этой сделке проиграл?

Учитель: В этой задаче дана последовательность 1,2,4,8,16,32,64,128,256, …,которая является геометрической прогрессией. Надо найти сумму тридцати первых членов этой геометрической прогрессии.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА.2.

По преданию, индийский принц Сирам, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, позвал к себе ее изобретателя ученого Сету и сказал ему: « Я желаю достойно вознаградить тебя за$ эту прекрасную игру. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое желание». Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую- 2зерна, на третью-4зерна и т. д. Сможет ли принц расплатиться с ученым?

Учитель: В этой задаче дана последовательность 1,2,4,8,16,…, которая является геометрической прогрессией. Надо найти сумму 64-х первых членов этой геометрической прогрессии.

( b$n) —геометрическая прогрессия , b1 , g.

Sn — сумма п первых членов геометрической прогрессии

Sn = b1 + b2 + b3 + b4 + b5+… + bn-1 + bn

Sn * g = b1*g + b2*g + b3 *g+ b4 *g + b5 *g+… + bn-1 *g+ bn*g

Sn *g= b$2 + b3 + b4 + b5+… + bn + bn *g

S$n *g — Sn = bn *g — b1

Sn (g-1) = bn *g — b1

Sn =

Sn =

формула суммы п первых членов геометрической прогрессии.

b n = b1* gn-1

Sn =

$Sn =

Sn =

Sn =

формула суммы п первых членов геометрической прогрессии.

Учитель: Вернемся к предложенным задачам –проблемам .

К задаче 1.

S30 = = =1073741824 -1 = 1 073 741 823 ( коп)

К задаче 2.

S64 = = = 18 446 744 073 709 551 615 18,5 *1018

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности земли, считая и моря и океаны и горы и пустыни и Арктику$ и Антарктику и получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он бы смог рассчитаться с изобретателем шахмат.

Задача 3 . Дано: ( bn)-геометрическая прогрессия, $b1 =8 , =.

Найти: S5.

Решение:

Sn =

S5 =

S5 = =8* ( — ) * ( —) =15,5

Ответ: 15,5.

Задача 4 . Дано: 3; — 6; …. — геометрическая прогрессия.

Найти: S6

Решение:

Sn =

g = b2:b1= -6:3=-2.

S6 =

$S6 = =

Ответ: — 63.

3.4.БЕСКОНЕЧНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА.

Ученик идет от стола учителя к двери. Первый шаг он делает длиной 1 метр, другой — полметра, третий- четверть метра и т.д. Дойдет ли ученик до двери, если до нее 3 метра?

Учитель. Получили последовательность 1,1/2,1/4, 1/8,….Данная последовательность является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем g =

Определение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $— это прогрессия, у которой |q|   первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа .

Найдем сумму всех членов геометрической прогрессии, т.е.

Sn = 1+ + + +…..+

Sn =

Sn = = -2 * ( ()n -1 ) = 2 — 2, т.к. при п вычитаемое стремится к нулю.

Ответ: ученик не сможет дойти до стола учителя.

3.5. ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ | g|

Sn =

Sn = =

$Если | | множитель стремится к нулю, а значит разность , т.е. стремится к единице. Поэтому при неограниченном увеличении сумма Sn стремится к числу.

Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии при

| |

Тогда S$n = .

Заметим, что если | |>1, то сумма первых членов геометрической прогрессии при неограниченном увеличении не стремится ни к какому числу. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму только при | |

Задача 5. Дано: 7,(12).

Найти: представить в виде обыкновенной дроби.

Решение:

7,(12)= 7+0,12+0,0012+0,000012+0,00000012+…

0,12; 0,0012; 0,000012… — геометрическая прогрессия

g = b2:b1= 0,0012:0,12=0,01

|$g| = 0,01

Sn =

Sn = = =

7.(12)= 7+ = .$

Ответ: 7,(12) = =

    1. СООБЩЕНИЕ УЧЕНИКА.

Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют так называемые бесконечно убывающие геометрические прогрессии.

Рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке. Сторона первого квадрата равна 1, сторона второго равна 1/2, сторона третьего 1/4 и т. д.

$
Таким образом, стороны квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2:
1, 1/2, 1/4, …
Площади этих квадратов образуют геометрическую со знаминателем1/2:
1, 1/4, 1/16, …
Из рисунка видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием n становится все меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из прогрессий называется бесконечно убывающей ,если модуль ее знаменателя меньше единицы.

4. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

Учитель повторяет весь теоретический материал урока и обращает внимание учащихся на основные понятия и формулы геометрической прогрессии.

5. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Изучить материал учебника ( п.27,п.28) и конспекта лекции;

рассмотреть вывод формулы суммы п-первых членов геометрической прогрессии; выучить определение, свойства и формулы.

6. Л$ИТЕРАТУРА:

    1. Алгебра . 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Макарычев и др.-М.: Просвещение,2010.

    2. Алгебра . 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Макарычев и др.-М.: Просвещение,1999.

    3. Учебно – методическая газета « Математика»

( приложение к газете « Первое сентября»).

    1. Журнал « Математика в школе »

    2. Савин А.П.. Станцо В.В. и др. Я познаю мир: Детская энциклопедия: математика. – М.: АСТ, 1996.

    3. Коваленко В.Г.Дидактические игры на уроках математики: Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1990.

    4. $Интернет. Википедия.

Post Comment