Конспект урока на тему «ПРИЕМЫ УСТНОГО РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Федеральное государственное казенное

$общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №151»

ПРИЕМЫ

УСТНОГО РЕШЕНИЯ

КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПОЛИЩУК О.В.,

учитель математики

ФГКОУ СОШ №151

г. Оленегорск-2

Мурманской области

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств.

Одна из основных целей изучения школьного курса математики заключается в овладении способами решения алгебраических уравнений второй степени и приводимых к ним уравнений. В школьном курсе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые $квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Желательно научить  ребят решать квадратные уравнения несколькими способами. Впоследствии при решении других видов уравнений, сводящихся к квадратным, рационально использовать те способы, которые  позволяют находить корни квадратных уравнений устно: свойства коэффициентов  и способ «переброски» старшего коэффициента. 

Данные приемы устного решения квадратных уравнений заслуживают внимания, поскольку не отражены в школьном учебнике математики. Овладение приемами поможет обучающимся экономить время, эффективно решать уравнения, развить математические, интеллектуальные спосо$бности, навыки исследовательской работы.

Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.

  1. Приведенные квадратные уравнения.

Наиболее распространенное устное решение приведенных квадратных уравнений, но и оно у многих учеников вызывает затруднение, особенно в случаях, когда корни имеют разные знаки.

Напомним, что приведенное квадратное уравнение это уравнение вида

х2 + рх + q = 0

Корни х1 и х2 удовлетворяют теореме Виета

х1 х$2 = q

х1 + х2 = — р

Определить знаки корней без решения уравнения (при условии, D0)

можно по$ следующим правилам:

р 0

р 0

q 0

оба корня отрицательны

оба корня положительны

$q 0

корни имеют противоположные знаки

Рассмотрим случаи.

  1. q 0

Если в уравнении х2 + рх + q = 0 q$ 0 ( или последним знаком является знак «минус»), то корни имеют разные знаки, причем знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении ( будем называть его в дальнейшем вторым знаком уравнения, а числа р и q будем называть модули коэффициентов).

Зная, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, сформулируем правило нахождения корней уравнения.

  1. найти такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу р;

  2. поставить перед меньшим из найденных чисел второй знак уравнения, другой корень будет иметь противоположный знак.

Пример 1.Решить уравнение х2 – 2х – 15 = 0

Решение.

1) Найдем множители числа 15: 1 и 15, 3 и 5. Выберем те, разность которых равна 2. Это числа 3 и 5.

2)Перед меньшим числом ставим второй знак уравнения, т.е. «минус».$

Таким образом, корни уравнения: х1 = — 3, х2 = 5.

Ответ: -3 и 5.

Пример 2. Решить уравнение х2 + 10х – 24 = 0

Решение.

Множи$тели числа 24: 1 и 24; 2 и 12; 3 и 8; 4 и 6 .

10 = 12 — 2 и второй знак уравнения «+» , то х1= 2, х2 = — 12

Ответ: — 12; 2.

Пример 3. Решить уравнение х2 – 5х – 14 = 0.

Решение.

14 = 2 7 и 5 = 7 – 2, то х1 = — 2, х2 = 7.

Ответ: — 2; 7.

Такой алгоритм помогает быстро решать уравнения тем обучающимся, у которых имеются трудности с подбором знаков в теореме Виета.

Задания для самостоятельного решения.

  1. Решите уравнения:

  1. х2 – 4х – 77 = 0 3) х2 + х – 56 = 0

  2. х2 + 8х – 20 = 0 4) х2 – 7х – 8 = 0

  1. Составьте уравнение, корнями которого являются числа:

  1. 6 и — 7 3) — 1 и 24$

  2. 13 и – 9 4) — 5 и 4

  1. Составьте четыре произвольных уравнения с целыми корнями, имеющими разные знаки.

  1. q 0

Если в уравнении х$2 + рх + q = 0 q 0 (или последним знаком является знак «плюс») то уравнение имеет два корня и оба корня имеют одинаковые знаки, противоположные второму знаку уравнения.

Сформулируем правило нахождения корней.

  1. если в уравнении два знака «плюс», то оба корня имеют знак «минус»;

  2. чтобы найти корни, нужно найти такие множители свободного члена q, чтобы их сумма была равна числу р.

Пример 1. Решить уравнение х2 + 7х + 12 = 0.

$Решение.

12 = 1 12 = 2 6 = 3 4 и 3 + 4 = 7, а в уравнении два «плюса»,

то корни уравнения х1 = -3, х2 = -4.

Ответ: х1 = -3, х2 = -4.

Пример 2. Решить уравнение х2 – 9х + 14 = 0.

Решение.

14 = 2 7 и 2 + 7 = 9, второй знак «минус», последний знак «плюс»,

$значит, корни уравнения х1 = 2, х2 = 7.

Ответ: х1 = 2, х2 = 7.

Задания для самостоятельного решения.

  1. Решите уравнения:

  1. х2 –11х + 24 = 0 3) х2 – 17х + 30 = 0

  2. х2 + 4х + 3 = 0 4) х2 + 9х + 14 = 0

  1. Составьте уравнение, корнями которого являются числа:

  1. 5 и 7 3) 11 и 8

  2. — 1 и – 6 4) — 4 и$ — 20

Таким образом, для нахождения корней приведенного квадратного уравнения

х2 + рх + q = 0 можно применить следующий алгоритм.

  1. Найти множители свободного члена, для которых действие, указанное последним знаком уравнения, дает второй коэффициент;

2. расставить знаки у найденных множителей по следующему правилу:

  • если в уравнении два «плюса», то в ответе два «минуса»,

  • если последний знак уравнения «минус», то меньшему корню присваивается второй знак уравнения, больший корень имеет противоположный знак.

  • $

Пример 1. Решить уравнение х2 – 7х – 30 = 0.

Решение.

Множители числа 30: 1 и 30; 2 и 15; 3 и 10; 5 и 6.

Последний знак « — », подбираем те, разность которых равна 7. Это 3 и 10. Меньшему числу присваиваем знак « — ».

Таким образом, корни уравнения: х1 = -3 , х2 = 10.

Ответ: х1 = -3 , х2 = 10.

Пример 2. Решить уравнение х2 – 7х + 6 = 0.

Решение.

Среди множителей числа 6 ищем такие, сумма которых равна 7

(последний знак уравнения « + »). Это числа 1 и 6., таким образом, х1 = 1, х2 = 6.

Ответ: х1 = 1, х2 = 6.

  1. Квадратные уравнения вида ax2 + bx + c = 0, $a 0.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

  1. Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, a 0.

$Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, — корни этого уравнения.

Доказательство:

$Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

Согласно теореме Виета

По условию а + в + с = 0, откуда в = — а – с. Значит,

Получаем: что и требовалось доказать.

2.$ Если а – в + с = 0, или в = а + с, то

Доказательство:

По теореме Виета

По условию а – в + с = 0, откуда в = а + с. Таким образом,

т.е. что и требовалось доказать.

Из свойства коэффициентов следуют приемы устного решения квадратного уравнения – приемы «коэффициентов».

Прием 1. Если а + b + с = 0, то

Пример 1. Решить уравнение 4х2 – 13х + 9 = 0.$

Решение.

Сумма коэффициентов 4 – 13 + 9 = 0, значит, — корни уравнения. Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение = 0.

Решение.

Сумма коэффициентов 839 – 448 – 391 = 0 , значит,

Прием 2. $Если b = а + с, то

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

7 = 2 + 5, значит, — корни уравнения

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение 5х2 + 3х -2 = 0

Решение.

3 = 5 + (-2), значит,.

Ответ:

Решение уравнений способом «переброски».$

Если а ± b + с $ 0, используем метод «переброски коэффициента».

Решим уравнение Умножим обе части уравнения на a0, получим Пусть , откуда

Тогда приходим к уравнению, равносильному данному Его корни у1 и у2 .

Окончательно .

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример 1.Решить уравнение 3х2 + 2х – 1 = 0

Решение.

$2 + 2х – 1 = 0, | 3

2+ 6х – 3 = 0

(3х $)2 + 2 (3х) – 3 = 0

Пусть 3х = у, тогда получим уравнение: у2 + 2у – 3 = 0. Сумма коэффициентов равна нулю: 1 + 2 + 3 = 0, значит, у1 = 1, у2= -3/ 1 = -3.

Вернемся к подстановке: 1) 3х = 1, х = 1/ 3.

2) 3х = — 3, х = — 1.

Ответ: х1 = — 1, х2 = 1/3.

Решение может быть таким:

Пример 2. Решить уравнение 2х2 – 11х + 5 = 0

Решение.

«Перебросив» коэффициент, получим приведенное квадратное уравнение

х2 — 11 х + 10 = 0, корни которого 1 и 10. Делим каждое число на 2, получаем корни данного уравнения: х1 = 0,5, х2 = 5.

Пример 3. Решить уравнение 6х2 – 7х – 3 = 0.$

Решение.

«Перебросив» коэффициент, получим приведенное квадратное уравнение

х2 – 7х – 18 = 0, корни которого 9 и – 2.

Делим на , — корни данного уравнения

Ответ: .

$

Пример 4. Решить уравнение

Решение:

Используя метод «переброски», получим уравнение

По теореме Виета

Ответ:

Задания для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

  1. 2 — 7х +2 =0 1) 5х2 — 7х -12 =0

  2. 11х2 +25х — 36=0 2) 11х2 +25х +14=0

  3. $345х2 -137х -208=0 3) 3х2 +5х +2=0

  4. 2 +5х — 8=0 4) 5х2 + 4х — 1=0

  5. 2 + 4х — 9=0 5) х2 + 4х +3=0

  1. 2 -9х +9=0

  2. 10х2 -11х + 3=0

  3. 2 +11х +6=0

  4. 2 +5х — 6=0

  5. 2 +1х — 4=0

Литература.

  1. $Мордкович А. Г.. Алгебра 8 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений.// М. Мнемозина.- 2012 г.

  2. Плужников И. Г. « 10 способов решения квадратных уравнений» //Математика в школе.-2000.- № 40.

  3. Михайлова Ж. Н. Алгоритмы – ключ к решению задач по алгебре. Ч 1.// М. Просвещение.-2008г.

Еще записи

Leave a Comment