Конспект урока на тему «Тригонометрические выражения и их преобразования»

Воронкова Ольга Ивановна

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа

18»

г. Энгельса Саратовской области. $

Учитель математики.

«Тригонометрические выражения и их преобразования»

Содержание

Введение …………………………………………………………………………….3

Глава $1 Классификация заданий на использование преобразований тригонометрических выражений ………………………….………………………5

1.1. Задания на вычисление значений тригонометрических выражений……….5

1.2. Задания на упрощение тригонометрических выражений…. 7

1.3. Задания на преобразование числовых тригонометрических выражений…..7

1.4 Задания смешанного типа………………………………………………………..9

Глава 2. Методические аспекты организация итогового повторения темы «Преобразование тригонометрических выражений»……………………………11

$ 2.1 Тематическое повторение в 10 классе…………………………………………11

Тест 1………………………………………………………………………………..12

Тест 2………………………………………………………………………………..13

Тест 3………………………………………………………………………………..14

2.2 Итоговое повторение в 11 классе………………………………………………15

Тест 1………………………………………………………………………………..17

Тест 2………………………………………………………………………………..17

Тест 3………………………………………………………………………………..18

Заключение .………………………………………………………………………….19

Список использованной литературы………………………………………..…….20

Введение.

В сегодняшних условиях наиболее главным является вопрос: «Как мы можем помочь устранить некоторые пробелы в знаниях обучающихся и предостеречь их от возможных ошибок на ЕГЭ?»  Для решения этого вопроса надо добиваться от учащихся не формального усвоения программного материала, а его глубокого и осознанного понимания, развития скорости уст$ных вычислений и преобразований, а также развития навыков решения простейших задач «в уме». Необходимо убеждать учеников в том, что лишь при наличии активной позиции, при изучении математики, при условии обретения практических умений, навыков и их использования, можно рассчитывать на реальный успех. Нужно использовать любую возможность для подготовки к ЕГЭ, в том числе и элективные предметы в 10-11-х классах, регулярно проводить разбор сложных заданий с обучающимися, выбирая самый рациональный способ решения на уроках и дополнительных занятиях. Положительный результат в области решения типовых задач может быть достигнут, если учителя математики, будут, создавая хорошую базовую подготовку обучающихся, искать новые пути в решении открывшихся перед нами проблем, активно экспериментировать, применять современные педагогические технологии, методы, приёмы, создающие благоприятные условия для эффективной самореализации и самоопределения обучающихся в новых социальных условиях.

Тригонометрия – составная часть школьного курса математики. Хорошие знания и прочные навыки по тригонометрии являются свидетельством достаточного уровня математической культуры, непременным условием успешного изучения в вузе математики, физики, ряда технических дисциплин.

Актуальность работы. Значительная часть выпускников школ показывает из года в год весьма слабую подготовку по этому важному разделу математики, о чём свидетельствуют результаты прошлых лет ( процент выполнения 2011- 48,41%, 2012-51,05%), так как анализ сдачи единого государственного экзамена показал, что ученики допускают много ошибок при выполнении заданий именно этого раздела или вообще не берутся за такие задани$я. В Едином государственном экзамене вопросы по тригонометрии встречаются почти в трех видах заданий. Это и решение простейших тригонометрических уравнений в задании В5, и работа с тригонометрическими выражениями в задании В7, и исследование тригонометрических функций в задании В14, а так же задания В12, в которых имеются формулы, описывающие физические явления и содержащие тригонометрические функции. И это – только часть заданий В! А ведь ещё есть и любимые тригонометрические уравнения с отбором корней С1, и «не очень любимые» геометрические задания С2 и С4.

Цель работы. Проанализировать материал ЕГЭ заданий В7, посвященных преобразованиям тригонометрических выражений и проклассифицировать задания по форме подачи их в тестах.

Работа состоит из двух глав, введения и заключения. Во введении подчеркнута актуальность работы. В первой главе приведена классификация$ заданий на использование преобразований тригонометрических выражений в тестовых заданиях ЕГЭ (2012 г).

Во второй главе рассмотрена организация повторения темы «Преобразование тригонометрических выражений» в 10, 11 классах и разработаны тесты по данной теме.

Список литературы включает 17 источников.

Глава 1. Классификация заданий на использование преобразований тригонометрических выражений.

В соответствии со стандартом среднего (полного) образования и требованиями к уровню подготовки учащихся в кодификатор требований включаются задания на знания основ тригонометрии.

Изучение основ тригонометрии будет наиболее эффективным, когда:

  • будет обеспечена положительная мотивация учащихся на повторение ранее изученного материала;

  • в учебном процессе будет реализован личностно-ориен$тированный подход;

  • будет применяться система задач, которая способствует расширению, углублению, систематизации знаний учащихся;

  • содержание повторяемого материала и способы его подачи будут способствовать активизации мыслительной деятельности учащихся на уроках и в процессе самостоятельного приобретения знаний;

  • будут использоваться передовые педагогические технологии.

Проанализировав литературу и интернет-ресурсы по подготовке к ЕГЭ, нами предложена одна из возможных классификаций заданий В7 (КИМ ЕГЭ 2012-тригонометрия): задания на вычисление значений тригонометрических выражений; задания на преобразование числовых тригонометрических выражений; задания на преобразование буквенных тригонометрических выражений; задания смешанного типа.

1.1. Задания на вычисление значений тригонометрических выражений.

Одн$им из наиболее распространенных типов несложных задач по тригонометрии является вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них:

а) Использование основного тригонометрического тождества и его следствия.

Пример 1. Найдите , если и .

Решение. $, ,

.

Т.к. , то .

Ответ.

Пример 2. Найдите , если и .

Решение. , , .

Т.к. , то .

$Ответ. .

б) Использование формул двойного угла.

Пример 3. Найдите $, если .

Решение. , .

Ответ. .

Пример 4. Найдите значение выражения .

Решение. .

Ответ. .

Задания для самостоятельного решения:

1. Найдите , если $ и . Ответ. -0,2

2. Найдите , если и . Ответ. 0,4

3. Найдите  , если . Ответ. -12,88

4. Найдите , если . Ответ. -0,84

$5. Найдите значение выражения: $. Ответ. 6

6. Найдите значение выражения . Ответ. -19

1.2. Задания на упрощение тригонометрических выражений.

Формулы приведения должны быть хорошо усвоены учащимися, так как они найдут дальнейшее применение на уроках геометрии, физики и других смежных дисциплин.

Пример 5. Упростите выражения .

Решение. .

Ответ. .

Задания для самостоятельного решения:

1. Упростите выражение . Ответ. 0,6

2. Найдите , если и $. Ответ. 10,56

3. Найдите значение выражения , если . Ответ. 2

1.3. Задания на преобразование числовых тригонометрических выражений.

При отработке умений и навыков заданий на преобразование числовых тригонометрических выражений, следует обратить внимание на знание таблицы зна$чений тригонометрических функций, свойств четности и периодичности тригонометрических функций.

а) Использование точных значений тригонометрических функций для некоторых углов.

Пример 6. Вычислите .

Решение. .

Ответ. .

б) Использование свойств четности тригонометрических функций.

Пример 7. Вычислите .

Решение. .

Ответ. $

в) Использование свойств периодичности тригонометрических функций.

Пример 8. Найдите значение выражения .

Решение. .

Ответ. .

Задания для самостоятельного решения:

1. Найдите значение выражения . Ответ. -40,5

2. Найдите значение в$ыражения $. Ответ. 17

3. Найдите значение выражения . Ответ. 6

4. Найдите значение выражения . Ответ. -24

5. Найдите значение выражения Ответ. -64

1.4 Задания смешанного типа.

Тестовая форма аттестации обладает весьма существенными особенностями, поэтому важно обращать внимание на задания связанные с применением нескольких тригонометрических формул одновременно.

Пример 9. Найдите , если $.

Решение. .

Ответ. .

Пример 10. Найдите , если и .

Решение. .

.

$Т.к. , то .

.

Ответ. .

Пример 11. Найдите , если .

Решение. $, , , , , , .

Ответ.

Пример 12. Вычислите $.

Решение. .

Ответ. .

Пример 13. Найдите значение выражения , если .

Решение. .

Ответ. $.

Задания для самостоятельного решения:

1. Найдите , если . Ответ. -1,75

2. Найдите , если . Ответ. 3

3. Найдите , если . Ответ. 0.25

4. Найдите значение выражения , если . Ответ. 0,3

5. Найдите значение выражения , если . Ответ. 5

$

Глава 2. Методические аспекты организация итогового повторения темы «Преобразование тригонометрических выражений».

Одним из важнейших вопросов, способствующих дальнейшему повышению успеваемости, достижению глубоких и прочных знаний у учеников является вопрос о повторении ранее пройденного материала. Практика показывает, что в 10 классе целесообразней организовать тематическое повторение; в 11 классе — итоговое повторение.

2.1. Тематическое повторение в 10 классе.

В процессе работы над математическим материалом особенно большое значение приобретает повторение каждой законченной темы или целого раздела курса.

$При тематическом повторении систематизируются знания учащихся по теме на завершающем этапе ее прохождения или после некоторого перерыва.

Для тематического повторения выделяются специальные уроки, на которых концентрируется и обобщается материал одной какой-нибудь темы.

Повторение на уроке проводится путём беседы с широким вовлечением учащихся в эту беседу. После этого учащиеся получают задание повторить определённую тему и предупреждаются, что будет проведена зачетная работа по тестам.

Тест по теме должен включать все ее основные вопросы. После выполнения работы проводится разбор характерных ошибок и организуется повторение для их устранения.

Для уроков тематического повторения нами предлагаются разработанные зачетные работы в виде тестов по теме «Преобразование тригонометрических выражений».

$

Тест № 1

$

Задание

Найдите , если и .

Найдите , если .

Найдите , если .

Найдите значение выражения $.

Найдите , если .

Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

Найдите , если .

$

Найдите значение выражения , если .

Тест № 2

Задание

Найдите если и .

Найдите $, если .

Найдите , если .

Найдите значение выражения .

$

Найдите , если .

Найдите значение выражения .

Найдите значен$ие выражения .

Найдите значение выражения .

Найдите , если .

Найдите значение выражения , если .

Тест № 3

Задание

Н$айдите если и .

$

Найдите , если .

Найдите , если .

Найдите значение выражения $.

Найдите , если .

Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения .

Найдите , если .

Найдите$ значение выражения , если .

Таблица ответов

Тест

1

2$

3

4

5

6

7

8

9

10

1

-0,2

$

2,5

-0,12

2,5

-0,25

-15

20

72

-0,1

-0,1

2

0,5

-1

-0,16

-0,8

-20

$-6

40

-114

-1,5

-0,7

3

0,9

0,6

-0,12

3

-2

-48

63

28

$-0,8

2,1

2.2. Итоговое повторение в 11 классе.

Итоговое повторение проводится на завершающем этапе изучения основных вопросов курса математики и осуществляется в логической связи с изучением учебного материала по данному разделу или курсу в целом.

Итоговое повторение учебного материала преследует цели:

1. Активизация материала всего учебного курса для прояснения его логической структуры и выстраивания системы внутри предметных и меж предметных связей.

2. Углубление и по возможности расширение знаний учащихся по основным вопросам курса в процессе повторения.

В условиях обязательной для всех выпускников сдачи экзамена по математике, постепенное введение ЕГЭ заставляет учителя по-новому подходить к подготовке и проведению уроков, учитывая необходимость обеспечить овладение всеми школьниками учебного материала на базовом уровне, а также возможность мотивированным учащимся, заинтересованным в получении высоких баллов для поступления в вуз, динамичного продвижения в овладении материалом на повышенном и высоком уровне.

На уроках итогового повторения можно рассмотреть следующие задания:

Пример 1. Вычислите значение вы$ражения .

Решение. = = = ====0,5.

Ответ. 0,5.

Пример 2. Укажите наибольшее целое значение, которое может принимать выражение .

Решение. Так как может принимать любое значение, принадлежащее отрезку [–1; 1], то принимает любое значение отрезка [–0,4; 0,4], поэтому . Целое значение выражения одно – число 4.

Ответ: 4$

Пример 3. Упростите выражение .

Решение: Воспользуемся формулой разложения на множители суммы кубов: . Имеем

.

Имеем: .

Ответ : 1

Пример 4. Вычислите .

Решение. $.

Ответ: 0,28

Для уроков итогового повторения нами предлагаются разработанные тесты по теме «Преобразование тригонометрических выражений».

Тест № 1

Задание

$

Найти значение выражения .

Вычислите , при .

Вычислите .

Найти значение выражения .

Найдите наибольшее значение функции на промежутке .

$

Вычислите .

Тест № 2

Задание

Упростите .

Укажите наибольшее целое число, не превосходящее .

Вычислите $.

Найти значение выражения .

$

Найдите наименьшее значение функции .

Вычислите .

Тест № 3

Задание

Упростите $.

Сколько натуральных чисел входит в множество значений функции.

Дано , , , . Найти .

Найти значение выражения $.

Найти значение выражения .

Вычислите .

Таблица ответов

Тест

1

2

3

4

5

6

1

0,29

$

-1,5

0,25

$

0

0,5

1,5

2

1

0

2

0

-2

-1

3

0

1

0,28

0

1

6

Заключение.

Проработав соответствующую методическую литературу по данной теме, можно сделать $вывод о том, что умение и навыки решать задания, связанные с тригонометрическими преобразованиями в школьном курсе математики является очень важным.

В ходе проделанной работы проведена классификация заданий В7. Рассмотрены тригонометрические формулы наиболее часто применяемые в КИМах 2012 года. Приведены примеры заданий с решениями. Разработаны дифференцируемые тесты для организации повторения и систематизации знаний в рамках подготовки к ЕГЭ.

Целесообразно продолжить начатую работу, рассмотрев решение простейших тригонометрических уравнений в задании В5, исследование тригонометрических функций в задании В14, задания В12, в которых имеются формулы, описывающие физические явления и содержащие тригонометрические функции.

В заключение хотелось бы заметить, результативность сдачи ЕГЭ во многом определяется тем, насколько эффективно организован процесс подготовки на всех ступенях обучения, со всеми категориями обучающихся. А если мы сумеем сформировать у обучающихся самост$оятельность, ответственность и готовность к продолжению обучения в течение всей последующей жизни, то мы не только выполним заказ государства и общества, но и повысим собственную самооценку.

Повторение учебного материала требует от учителя творческой работы. Он должен обеспечить четкую связь между видами повторения, осуществить глубоко продуманную систему повторения. Овладеть искусством организации повторения — такова задача учителя. От ее решения во многом зависит прочность знаний учащихся.

Литература.

  1. Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. -М.: Наука, 1970.

  2. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа : Учебное пособие для 10-11 классов средней школы / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын,$ С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 1990.

  3. Караваева Л.А. Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений (10-й класс) //Фестиваль педагогических идей. 2012-2013.

  4. Корянов А.Г. , Прокофьев А.А. Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников. — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.- 103 с.

  5. Кузнецова Э.Н. Упрощение тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений различными методами (подготовка к ЕГЭ). 11-й класс. 2012-2013.

  6. Куланин Е. Д. 3000 конкурсных задач по математике. 4-е ихд., испр. и доп. – М.: Рольф, 2000.

  7. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. №6.

  8. Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней: -М. Просвещение, 1985г.

  9. Решетников Н.Н. Тригонометрия $в школе: -М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2006, лк 1.

  10. Шабунин М.И., Прокофьев А.А. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.

  11. Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ. http://reshuege.ru/test?theme=59

  12. Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ. http://xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/test?theme=167

  13. Подготовка к ЕГЭ по математике «Ох, уж эта тригонометрия! http://festival.1september.ru/articles/621971/ 

  14. Проект «Математика? Легко!!!» http://matematikalegko.ru/zadachi-b7/preobrazovanie-chislovyx trigonometricheskix-vyrazhenij-2-sposoba.html

  15. Сайт рефератов http://podelise.ru/docs/index-292781.html

  16. Сайт учебного характера http://rudocs.exdat.com/docs/index-15408.html

  17. Учебный центр по подготовке к ГИА и ЕГЭ $ http://www.resolventa.ru/

Еще записи

Leave a Comment