Конспект урока по Алгебре “Общие методы решения тригонометрических уравнений” 10-11 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Малоибряйкинская основная общеобразовательная школа

$ Похвистневского района Самарской области

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

$

«Общие методы решения тригонометрических уравнений»

для учащихся 10-11 классов

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Автор разработки: учитель математики Бурякова Ве$ра Николаевна

Самарская область

2011 год

Цели урока:

Образовательные:

– актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

– рассмотреть общие подходы решения тригоном$етрических уравнений;

– закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

– познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

– содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

– формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

– отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:

– вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

– способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Продолжительность урока: 2 часа

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

$ Структура урока:

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

$

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Вводно-мотивационная часть

1.1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Содержание этапа:

1. Приветствие.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

2. Проверка гот$овности учащихся к уроку.

Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня – рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В нач$але урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций,$ обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида

A sinx + В cosx = С. После каждого блока заданий проводим разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.

После чего познакомимся с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо! Итак, приступаем.

$

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа:

Учитель: Первое задание для устной работы – решите уравнения:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы

А) 3 х – 5 = 7

Б) х2 – 8 х + 15 = 0

В) 4 х2 – 4 х + 1= 0

Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0

Д) 3 х2 – 12 = 0

Ответы

4

3; 5

0,5

-2; -1; 1; 2

$

-2; 2

Учитель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы

А) (sin a – 1) (sin a + 1)

Б) sin2 a – 1 + cos2 a

В) sin2 a + tg a ctg a + cos2 a

Г) √1- 2 tgх + tg2 х

Ответы

cos2$ a

0

2

|1- tg х|

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания $знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Учитель: Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных$ углов поворота.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

1 вариант

$

2 вариант

sin (-π/3)

cos 2π/3

tg π/6

ctg π/4

cos (-π/6)

sin 3π/4

Ответы

$ – √3/2

1/2

√3/3

1

√3/2

√2/2

cos (-π/4 )

sin π/3

ctg π/6

tg π/4

sin (-π/6)

cos 5π/6

Ответы

√2/2

√3/2

√3

1

– 1/2

– √3/2

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

$

6

5

5

4

4

3

4

2

На экране проецируются ответы

Учитель: А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Учитель: Выполняем следующую работу также самостоятельно. Вычислите:

На экране проецируется задание.

1$ вариант

2 вариант

arcsin √2/2

arccos 1

arcsin (- 1/2 )

arccos (- √3/2)

arctg $√3

Ответы

π/4

0

– π/6

5π/6

π/3

arccos √2/2

arcsin 1

arccos (- 1/2)

arcsin (- √3/2)

arctg √3/3

Отве$ты

π/4

π/2

2π/3

– π/3

π/6

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

5

5

4

4

$

3

3

$ 3

2

На экране проецируются ответы

Учитель: Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений

sinx

$

х = (-1)karcsin а + π k, k Z

cosx = а

х = ± arccos а + 2 π k, k Z

tg х = а

х = arctg а + π k, k Z.

Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квад$ратным:

A sin2 х + В sin х + С =0 или

A sin2 х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin2 х + 5 sin х – 6 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х $= z, решая квадратное уравнение

z2 + 5 z – 6 = 0, находят z1 = 1; z2 = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, kZ.

Уравнение sin х = – 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ),

т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]

Учитель: При решении уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х = 1 – $cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х = 1 – cos2 х, получили

2 (1 – cos2 х) +3 cos х -3 =0.

– 2 cos2 х + 3 cos х – 1 = 0 | (-1)

2 cos2 х – 3 cos х + 1 = 0

Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t 2 – 3t +1 = 0,

находят t1 = 1; t2 = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k Z.

Решением уравнение cos х = 0,$5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n$, n Z.

Учитель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

2 cos2х + 5 sin$ х – 4=0

cos 2х + cos х =0

√2 sin (x/2) + 1 = cos х

Ответы

(-1)kπ/6 + πk, k Z

π + 2πk, k Z

± π/3 + 2 πn, n Z

$

2 πk, k Z

(-1)k π/2+2πn,n Z

3 sin x – 2 cos2x =0

cos 2x + sin $x =0

√2cos(x/2) + 1=cos x

Ответы

(-1)kπ/6 + πk, k Z

π/2 + 2πk, k Z

(-1)k+1 π/6 + πn, n Z

π + 2πk, k Z

± π/2 + 4πn, n Z

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы

Физкультминутка.

Учитель: Ребята, а сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упра$жнение 1 Цель этого упражнения – устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

  • В положении стоя положите руки на бедра.

  • Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

  • Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2 Цель – укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в област$и шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого предста$вьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 10 раз.

Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = $0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = – arctg 1,5 + πk, k Z

Учитель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части урав$нения на cos2x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin2 х – 3 sinх cos х – 5 cos2х =0

Учащиеся решают уравнение 2 sin2 х – 3 sinх cos х – 5 cos2х =0

2 sin2 х – 3 sinх cos х – 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0

2 tg 2x – 3 tg x – 5 = 0

замена tg x = t

2 t2 – 3 t – 5 =0

$ t1 = -1; t2 = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = –π/2 + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.

Учитель: К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравн$ения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х =D (sin2 х + cos2х)

или (А –D) sin2 х + В sinх cos х + (С-D) $cos2х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos2(x/2) – sin2(x/2) )= С (sin2(x/2) + cos2(x/2)). А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

$ На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin2 х – 3 sinх cos х – 2 cos2х =0

3 cos2х$ + 2 sin х cos х =0

5 sin2 х + 2 sinх cos х – cos2х =1

2 sin x – 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin2 х – 5 sinх cos х + cos2х =0

2 sin2 x – sin x cosx =0

4 sin2 х – 2sinх cos х – 4 cos2х =1

2 sin x – 3 cos x = 4

2 sin2 х – 2sin +1 =0

Учитель: Ребя$та, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы

$

1 вариант

2 вариант

«3»

$

«4»

«5»

– arctg 5/3+ πk, k Z.

π/4 + πk; – arctg 0,4 + πn, k, n Z.

π/2 + πk; – arctg 1,5 + πn, k, n Z.

π/4 + πk; – arctg $0,5 + πn, k, n Z.

arctg ( – 1 ±√5) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z.

– arctg 2/3+ πk, k Z.

arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

-π/4 + πk; – arctg 5/3 + πn, k, n Z.

arctg ( 2 ± 11) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z.

Учитель: Продолжим рассмотрение основных методов решения тригонометрических уравнений.

Б) различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С

1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

2) использование универсальной подстановки

$

2 tg x/2 1 – tg2x/2

sinх = ——————- , cos х = ———————–

1 + tg2 x/2 1 + tg2 x/2

3) введение вспомогательного угла

A sin x+ B cos x = С | : √A2 + B2 ≠ 0

A sin x + $В cos x = С .

√A2 + B2 √A2 + B2 √A2 + B2

Если A = cos β, то A = sin β, получим

A2 + B2A2 + B2

cos β · sin x + sin β · cos x = С , откуда sin (x + β) = С или

A$2 + B2 √A2 + B2

x = (-1)k arcsin С – β + πk, k Z.

A2 + B2

А теперь попробуйте решить уравнение √3 sin x + cos x = 1 одним из предложенных способов.

Учащиеся решают уравнение, консультируются у у$чителя в случае возникновения затруднений.

Учитель: А теперь сверьте свои ответы с ответами соседа. Сверили. Молодцы! А сейчас выполним самостоятельную работу следующего характера. Решите тригонометрическое уравнение вида A sin x+ B cos x = С рассмотренными способами.

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

$sin x + 3 cos x = 2

2 sin x+ 3 cos x = 1

3

Используя один из предложенных способов

$

4

Используя любые два из предложенных способов

5

Используя три предложенные способа

Ответ

2 arctg (1 ±√6)/5 + 2πk, k Z.

2 arctg ( 1 ±√3)/2 + 2πk, k Z.

На экране проецируются ответы

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

Учитель: А сейчас$ познакомимся с решением тригонометрических уравнений новыми способами:

А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) = R (у; х).

Рассмотрим уравнение 4 sinх – 6 sinх cos$ х + 4 cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x, то sinx ·cos x = (sin x + cos x)2 – 1 , получим

2

4 sin х + 4 cosх – 6 (sin x + cos x)2 – 1 + 1 = 0 ,

2

4 sin х + 4 cosх – 3 ( (sin x + cos x)2 – 1) + 1 = 0 ,

Введем обозначение t = sin x + cos x, получим

$

4 t – 3 (t2 -1) + 1 = 0

– 3 t2 + 4 t + 4 = 0

3 t2 – 4 t – 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t 1 = 2, t 2 = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sinх + cosх = 2 и sinх + cosх = -2/3

Б) методом разложения на множители.

Вспомним исполь$зование данного метода при решении известного вида уравнений:

sinх + sin3 х + sin5 х = 0

сгруппируем слагаемые:

(sinх + sin5 х) + sin3 х = 0

2 sincos 2х + sin3х = 0

sin3х ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin3х = 0 или 2 cos 2х + 1 = 0

$ cos 2х = – 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin 3 х + 3 sinх – 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или 4 ·1 3 + 3 · 1 – 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin 3 х + 3 sinх – 7 – (4 · 1 3 + 3 · 1 – 7 ) = 0

или 4 ( sin 3 х – 1 ) + 3 ( sinх – 1 ) = 0 .

Разложим на множители: 4 ( sinх – 1 ) ( sin 2 х + sin$х +1 ) + 3 ( sinх – 1 ) =0

( sinх – 1 ) ( 4 ( sin 2 х + sinх + 1) + 3 ) = 0

( sinх – 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sinх + 4 + 3 ) = 0

( sinх – 1 ) ( 4 sin$ 2 х + 4 sinх + 7 ) = 0, откуда

sinх – 1 = 0 или 4 sin 2 х +4 sinх + 7 = 0

х = π/2 + 2пk, k Z решений нет

В) методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x– 2 π)/3 = 3

Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1

– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2

———————————–

$ – 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.

Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или

sin x/4 = 1

cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1 , получим х = 2 π+ 8πn, n Z.

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn – 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, $cosn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k Z.

Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k Z.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

$ 3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Содержание этапа:

Учитель: А теперь вы оцените свою работу на уроке. Вы самостоятельно выполнили 5 упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я вам выставляю в журнал.

3.2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

$ Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание следующего содержания:

1. введением нетрадиционной замены решите симметричное тригонометрическое уравнение cos6х + sin6 х = 16 sin2 х cos2х ;

2. выражение sin3 х + 3 sin х – 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin3 х + 3 sin х – 4 = 0

4. методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение

2 ( сosх + sin$ х ) + sin 2 х + 1 = 0

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанали$зировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем

Содержание этапа:

Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась$ уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

– Что нового узнали на уроке?

– Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

– Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

– Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

– Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

– Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!

$

Список литература:

  1. Ананьев Ю.А., Дворянинов С.В., Неценко Ю. Н. «Экзаменационные задачи по алгебре и началам анализа за курс средней школы». Самара, СОИПКПРО, 1993

  2. Блошкин Б.Ф. «Самостоятельные и контрольные работы по математике 9-10 классы». М., Просвещение 1969

  3. Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 1986

  4. Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе» (для углубленного изучения математики) Псков, ПОИПКРО, 1994

  5. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001

  6. $ Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 1990

  7. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 1997

  8. Кононов $А.Я. «Устные занятия по математике в старших классах» М., Столетие, 1997

  9. Краснова Л.Г., Матвеева Е.Д., Степанова М.И. «Сборник контрольных заданий» Чувашия, РИПКРНО, 1983

  10. Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2001

  11. Самусенко А.В. «Математика: типичные ошибки абитуриентов» Минск, Высшая школа, 1995

  12. Щукина В. «Репетитор. Математика. Физика» М., НПО Перспектива, 1993

  13. http://www.falto.ru/article/article4_1.html

Еще записи

Leave a Comment