Конспект урока по Алгебре “Предел функции в точке” 10 класс

Урок алгебры в 10 классе по теме «Предел функции в точке»

Цель урока: формирование у учащихся наглядно – интуитивных представлений о пределе функци$и в точке.

Задачи урока:

  • ввести понятие предела функции в точке;

  • рассмотреть геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке;

  • ввести понятие непрерывности функции;

  • рассмотреть правила о нахождении предела суммы, произведения и частного двух функций;

  • рассмотреть примеры нахо$ждения предела функции в точке.

Тип урока: урок объяснение нового материала.

План урока.

  1. Организационный момент.

  2. Мотивация изучения темы.

  3. Подготовительная работа.

  4. Изучение нового материала.

  5. Решение задач.

  6. Домашнее задание.

  7. $ Итог урока.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока: «Предел функции в точке». Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями «предел функции в точке», «непрерывность функции», а также рассмотрим правила вычисления предела функции в точке.

2. Мотивация изучения темы.

Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать пон$ятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.

3. Подготовительная работа.

Перед тем как начать изучать новую тему выполним следующее задание: постройте график$ функции если:

а) при х = 4 значение функции не существует; (рис.1)

б) при х = 4 значение функции равно 3; (рис.2)

в) при х = 4 значение функции равно 2. (рис.3)

(В ходе выполнения этого упражнения учащиеся повторяют нахождение области определения функции, а также построение графика функции, которая при данном значении аргумента либо имеет значение, либо не определена).

Рисунок 1

Рисунок 1

Рисунок 2

4. Изучение нового материала.

Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена од$на и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.

Чем они отличаются друг от дру$га?

(Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = 4).

Как ведет себя функция в точке х = 4 на первом графике?

(Для функции при х = 4 значение функции не существует, функция в указанной точке не определена).

Как ведет себя функция в точке х = 4 на втором графике?

(Для функции при х = 4 значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке).

Как ведет себя функция в точке х = 4 на третьем графике?

(Для функции при х = 4 значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть двум).

Если мы исключим точку х = 4 из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.

Для всех трех случаев используется одна и та же запи$сь: .

В общем случае эта запись выглядит следующим образом: .

Эту запись читаем так: «предел функции y=f(x) при стремлении х к а равен b».

А теперь ответьте на такой вопрос: какую из трех рассмотренных функций естественно считать непрерывной в точке х = 4?

(Непрерывной будет третья функция)

$ Так как эта функция непрерывна, то она удовлетворяет условию . И функцию f (x) называют непрерывной в точке х = а$.

Иными словами, функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

При изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной, иррационал$ьной, тригонометрических) мы отмечали, что они являются непрерывными либо на всей числовой прямой, либо на промежутке. Исходя из этого, можно сформулировать следующее утверждение: если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригоно$метрических выражений, то функция y = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x).

5. Решение задач.

Для закрепления понятия предела функции в точке выполним номер 678.

39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 74 – 81, имеет предел при х 3? Чему равен$ этот предел?

Решение.

Рисунок 74 Рисунок 75

Рисунок 76 Рисунок 77

Рисунок 78 Рисунок 79

Рисунок 80 Рисунок 81

Решим номер 39.19 (а, б).

39.19 (а, б). Постройте график какой – нибудь функции y = g (x), обладающей заданным свойством:

$ а) , (рис.4)

б) . (рис.5)

Решение.

Рисунок 3 Рисунок 4

Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций.

Пример 1. Вычислить: .

Решение. Выражение х3 – 2х2 + 5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х3 – 2х2 + 5х + 3 н$епрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: .

Ответ: 7.

Для решения $следующего примера нам потребуются правила вычисления предела функции в точке.

Правило 1. .

Правило 2. .

Правило 3. .

Пример 2. Используя эти правила, вычислим .

Решение. Выражение определено в любой точке х 0, в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому п$редел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х = 2. Имеем: .

Ответ: 0.

Решим номер 39.23.

39.23. Вычислите: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

$ Решение.

а) . Выражение х2 – 3х + 5 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х2 – 3х + 5 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: .

Ответ: 3.

б) . Выражение определено в любой точке х , в частности, в точке х = . Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = , а потому предел функции при стремлении х к равен значению$ функции в точке х = . Имеем: .

Ответ: 0.

в) . Выражение х2 + 6х – 8 определено в любой точке х, в частности, в точке х = – 1. Следовательно, функция у = х2 + 6х – 8 непрерывна в точке х = – 1, а потому предел функции при стремлении х к – 1 равен значению функции в точке х = – 1.

Имеем: .

О$твет: – 1.

г) . Выражение определено в любой точке х , в частности, в точке х = . Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке $х = , а потому предел функции при стремлении х к равен значению функции в точке х = .

Имеем: .

Вы заметили, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Если подставить значение х = – 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить не$льзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции и тождественны при условии х – 3. Но при вычислении предела функции при х – 3 саму точку х = – 3 можно исключить из рассмотрения. Значит, .

Ответ: – 1,5.

Решим номер 39.27.

39.27. Вычислите: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение.

а) . Если подставить з$начение х = 0 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции и тождественны при условии х 0, х 1. Значит, .

Ответ: 0.

б) . Если подстав$ить значение х = – 1 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции и тождественны при условии х 0, х – 1. Значит, .

Ответ: – 1.

в) . Если подставить значение х = 3 в заданное выражение, то и в числите$ле, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции и тождественны при условии х 3. Значит, .

Ответ: 3.

г) . Если подстави$ть значение х = – 5 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции и тождественны при условии х 0, х – 5. Значит, .

Ответ: – .

6. Домашнее задание.

Открываем дневники и записываем домашнее задание: номера 39.19 (а, б), 39.24, 39.28. Эти номера подобны тем, которые мы решали в классе, образец записи у вас в тетрадях.

7. Итог урока.

Сегодня на уроке мы по$знакомились с понятием предела функции, непрерывности функции в точке и на промежутке, правила вычисления предела в точке, научились вычислять предел функции в точке.

Еще записи

Leave a Comment