Конспект урока по Алгебре “Примеры решения тригонометрических уравнений” 10 класс

Урок алгебры в 10-м классе. Тема: «Примеры решения тригонометрических уравнений»

Олей Вера Ивановна

учитель математики

Разделы:  1 tg x при любом a]

2. Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (на карточках):

sin x = а$ х = (-1)к arc sin a+ к, к  z
sin x = 0
sin x = 1
sin x = -1

cos x = a x=± arc cos a + 2 , n  z
cos x = 0
cos x = 1
cos x = -1

tg x = a x = arc tg a + n, n  z

arc sin (-а) = – arc sin а
arc cos (-
а) =  – arc cos а
arc tg
а (-а) = – arc tg а

II. Проверка домашнего задания.

Игра “Поле чудес”. Правила игры несколько изменены, а название оставлено.

Правила игры.

$

  • Учитель берет понравившееся ему высказывание или слова из песни, стихотворения, пословицу. По количеству букв в этом высказывании подбирается столько же примеров или задач так, чтобы одинаковым буквам соответствовали одинаковые ответы.

  • Каждому ученику учитель дает карточку с заданиями и ученик сразу начинает решать.

  • На доске записаны буквы, которые встречаются в высказывании, и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам.

  • Ниже записаны числа по порядку (по количеству букв в высказывании).

  • Ученик, выполнявший задание, называет номер своей карточки и букву, под которой записан ответ.

  • Учитель под числом (…) ставит букву (…). И так далее. Ученики стараются быстрее решить, чтобы получить следующую карточку.

  • За правильно решенные 2-3 задания он может получить оценку. Поэтому желательно карточек иметь более чем число.

Ум хорошо, а два лучше
12 3 45 67 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6 17

а

в

д

  z

, к  z

, n  z

е

л

м

, n  z

, n  z

, n  z

о

$

р

у

, n  z

, n  z

, n  z

x

ч

ш

, n  z

, n  z

, n  z

Уравнение:

$

$

, n  z

$у

cos x = -1

х =  +2 n, n  z

м

 z

x$

, n  z

o

, n  z

p

, n  z

o

, n  z

ш

, n  z

o

, n  z

a

, n  z

д

, k  z

в

, n  x

a

, n  z

л

, n  z

у

, n  z

ч

, n  z

ш

, n  z

е

Дополнительные уравнения

, n  z

, k  z

, n  z

, k  z

, n  z

, n  z

, n  z

, n  z

, n  z

, n  z

, k  z

$, n  z

, k  z

, k  z

, n  z

, n  z

III. Объяснение нового.

1.

  • В предыдущих параграфах были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений: sin x=a, cos x=a, tg x=a

  • $ К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства из них требуется применение формул преобразований тригонометрических выражений.

  • Сегодня на уроке мы рассмотрим уравнение, сводящиеся к квадратным.

2.

  • На доске записаны уравнения:

а) 3х-8=х+6 (линейное уравнение)
б) х
2+2х-15=0 (квадратное уравнение)
в) х
4-5х2+4=0 (квадратное уравнение относительно х2).
г) 2 cos
2x-cosx-1=0 (квадратное уравнение относительно cosx)

  • Какие из них являются квадратными?

  • Общий вид квадратного уравнения:

ax2+bx+c=0

Корни квадратного уравнения, приведенного, т.е. х2$+рх+q=0 можно находить по теореме Виета:

Х12=-р; х1х2=q

  • х4-5х2+4=0 – квадратное уравнение относительно х2. Это уравнение назвали биквадратным. Общий вид ах4+вх2+с=0, где а± 0.

  • Его легко решить методом введения новой переменной, т.е. х2 и уравнение принимает вид: а$2-5а+4=0

3. Последнее уравнение тоже квадратное, относительно cosx. Для его решения введем новую переменную. Пусть y=cosx, тогда уравнение можно записать виде: 2-у-1=0. Получили квадратное уравнение.

Д=1+8=9; 

Следовательно:

а) cosx=1 б) cosx=

х=2p n, n  z , n  z

 , n  n

Ответ: 2 n, n  z; , n  z

4. Решим уравнение:

 Надо привести уравнение к одной функции. Для этого заменим cos2 x на 1-sin2x. Получим относительно xinx квадратное уравнение:

Пусть xinx=у, тогда 2+5у-3=0

Получили квадратное уравнение

Д=25+24=49

Следовательно:

$а)  б) xinx=-3 – решение не имеет

, к  z

, к  z

Ответ: , к  z

5.

tgx-2ctgx=-1. Функции разные. Используя тождество tgx? ctgx=1, выразим , заменим ctgxчерез tgx.

 пусть tgx=у, то у2+у-2=0 (дальше, как в предыдущем случае).

6. $Для закрепления

4 xin2x- cosx-1=0
Заменим xin
2x на 1- cos2x. Получим
4(1- cos
2x)- cosx-1=0
4-4 cos
2x- cosx-1=0
-4 cos
2x- cosx+3=0
4 cos
2x+ cosx-3=0

пусть cosx=у, то

2+у-3=0

Д=1-48=49 

Следовательно,

а) cosx=-1 б) 

х= +2 n, n  z , n  z

Ответ:  +2 n; , n  z

7. №164 (в) – cамостоятельно

2 xin2x- xinx-1=0
пусть xinx=у, то
2-у-1=0

Д=1+8=9;  

Следовательно,

$а) xinx=1 б) 

, n  z , n  z

,к  z.

Ответ: , n  z

, к  z

165(б)

2 xin2x+3 cosx=0

Заменим xin2x на 1- cos2x получим

2(1- cos2x)+3 cosx=0
2-2 cos
2$x+3 cosx=0
-2 cos
2x+3 cosx+2=0, т.е.
2 cos
2x-3 cosx-2=0

пусть cosx=у, то
2-3у=0

Д=9+16=25

Следовательно,

а) cosx=2 б) 

решение не имеет , n  z

, n  z

, n  z

Ответ: , n  z

8.

Итог урока

Алгоритм решения тригонометрических уравнений.

  1. Привести уравнение к квадратному, относительно тригонометрических функций, применяя тригонометрические тождества.

  2. Ввести новую переменную.

  3. Записать данное уравнение, используя эту переменную.

  4. Найти корни полученного квадратного уравнения.

  5. $Перейти от новой переменной к первоначальной.

  6. Решить простейшие тригонометрические уравнения.

  7. Записать ответ.


Еще записи

Leave a Comment