Линейная алгебра: решение систем уравнений методом матриц, 9 класс

$Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 34 города Томска

Программа

элективного курса по выбору

для предпрофильной подготовки

в 9 классе
«Линейная алгебра»

Подготовила

учитель математики

$Пихтовникова Светлана Александровна

Томск 2010

Линейная алгебра: решение систем уравнений матричным способом

Программа элективного курса.

9 класс.

Пихтовникова Светлана Александровна,

$ учитель математики,

высшей категории

МОУ СОШ № 34 города Томска


Пояснительная записка.

Содержание курса соответствует целям предпрофильного обучения, который направлен на достижение нового качества обучения математике с учетом современных требований в условиях организации предпрофильной подготовки и введение профильного обучения, на предварительное самоопределение учащихся в отношении собственного профильного на$правления в образовании.

  • Дает обучающимся возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету;

  • Помогает уточнить готовность и способность обучающихся осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;

  • Создает условия для подготовки к экза$менам по выбору (будущее профилирующие);

  • Создает условия для осознанного и успешного выбора профиля выпускником основной школы.

Содержание учебного материала включает темы, полезные для дальнейшего выбора профиля обучения.

  • Программа содержит все знания, необходимые для достижения запланированных целей.

  • включены прогрессивные научные знания и наиболее ценный опыт практической деятельности человека.

  • применима для различных групп (категорий) школьников, что достигается обобщённостью включённых в неё знаний, их отбором в соответствии с общими для всех учащихся задачами предпрофильного обучения, модульным принципом построения программы. Доля необобщённых знаний:$ частного опыта, фактов, информации сведена в программе к минимуму.

  • Содержание направлено на передачу знаний, необходимых для формирования компетенции в предметной области, а также зрелости в выборе профиля обучения.

  • $Предполагается применение активных методов обучения, использование ИКТ.

  • Изучение всех последующих знаний обеспечивается предыдущими, наличие связей между частными и общими знаниями.

  • Способ развёртывания содержания избирается в зависимости от стоящих в программе целей (формирования теоретического или эмпирического мышления).

  • Обеспечивается степенью операциональности описания тех знаний, которые предполагается сформировать, а также выделением результатов подготовки по каждой из ведущих тем или по программе в целом.

  • Возможность в любой момент обучения установить степень достижения промежуточных и итоговых результатов обучения и выявить сбой в прохождении программы.

  • $Делается крен в сторону «абитуриентской» математики. Этому способствует набор тем, рассматриваемых в процессе изучения курса.

Цели курса:

Выявление интересов, проверка возможностей ученика на основе широкой палитры небольших курсов, охватывающих основные области знания, позволяющие составить представление о характере профессионального труда людей на основе личного опыта

(«Концепция профильного обучения»)

Выявление и формирование средствами математики направленности личности, ее профессиональных интересов.

— Формирование деятельностных способностей учащихся: способностей к самоопределению, самореализации, рефлексии собственной деятельности.

— Формирован$ие и развитие мышления.

— Овладение комплексом математических знаний, умений и навыков.

— Решение полезных задач для подготовки к ЕГЭ, в том числе и абитуриентского плана

Задачи :

  • Оказать психолого-педагогическую помощь в приобретении школьниками представлений о жизненных, социальных ценностях, в том числе, связанных с профессиональным становлением;

  • $Обеспечить индивидуализацию обучения;

  • Дать возможность реализовать свои образовательные запросы;

  • Формировать способности принимать адекватное решение о выборе дальнейшего направления образования, пути получения профессии.

  • $Уметь решать системы уравнений различными способами как школьного курса так и способами высшей школы (линейная алгебра);

  • Уметь применять ЗУН при решении трудных заданий, из ЕГЭ, практических задач.

Распределение программного материала по времени с учётом его достаточности для

  • качественного изучения и п$олучения запланированных результатов;

  • устранения возможных сбоев;

применения наиболее эффективных методов обучения. Нахождение наиболее «короткого» пути качественного изучения материала.

Преобладающие методы обучения:

    • Проблемный;

    • Исследовательский;

    • Практикумы;

    • Самостоятельная работа обучающихся;

    • Уроки с компьютерной поддержкой;

    • Лекционные занятия;

    • Проектный;

    • Коллективная работа, проблемная группа$ по методу проекта.

Предпрофильное обучение элективных курсов осуществляется в форме:

  • Лекционных занятий;

  • Практикумов;

  • Уроки исследования;

  • Уроки с использованием ИКТ;

  • Защита проектов, творческих заданий, рефератов.

Технологии обучения.

$Так как в основу организации предпрофильного обучения заложены основные идеи личностно – ориентированного подхода в овладении системой ЗУН, то наиболее эффективными в условиях ППО и профильной школы, а также для организации данного элективного курса в школе являются:

  • Обучение укрупненными дидактическими единицами;

  • КСО (в парах: контроль и самоконтроль, проблемные группы);

  • Технология полного усвоения знаний (есть разные уровни заданий, контрольные тесты, дидактиче$ский материал, все сделал только тогда — к следующему);

  • Компьютерные технологии;

  • ТРИЗ (технические решения изобретательных задач) ;

  • Технология проектного обучения.$

Дидактические принципы организации
УВП на элективных курсах по математике являются принципами развивающего обучения:

1. Принцип деятельности: ученик

является не объектом, а субъектом деятельности Технология деятельностного метода:

1.Самоопределение к деятельности

2.Актуализация знаний

3.Постановка учебной задачи

4.Построение проекта выхода из затруднения

5.Первичное закрепление во внешней речи

6.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

7.Включение в систему знаний и повторение

8.Рефлексия деятельности (итог урока)

2. Принцип вариативности: самостоятельный выбор учащимися вариантов своего профиля

$3. Принцип минимакса: Разведение уровня подачи материала и уровня требований к его освоению. Разноуровневое содержание курса.
4. Принцип психологической комфортности: Снятие стрессобразующих факторов учебного процесса, создание доброжелательной атмосферы, ориентированной на реализацию идей педагогики сотрудничества.
5. Принцип творчества: Максимальная ориентация на творческое начало в учебной деятельности учащихся, приобретение ими собственного опыта творческой деятельности.

1) Самоопределение к деятельности: положительный настрой на работу

2) Актуализация знаний: подготовка мышления учащихся к проектировочной деятельности. Этап завершается осмыслением затруднений в индивидуальной деятельности

$3) Постановка учебной задачи: выявление и фиксация причины затруднений.
Постановка цели урока, связанной с устранением причины затруднения. Формулировка темы урока.

4) Построение проекта выхода из затруднения:$
Построение нового способа действия на основе выбранного метода решения учебной задачи Этап завершается фиксацией решения учебной задачи
5) Первичное закрепление во внешней речи: Решение типовых заданий на новый способ действий с проговариванием способа решения во внешней речи

6) Самостоятельная работа с самопроверкой по
эталону:
Самостоятельное выполнение заданий на новый способ действий и их самопроверка по эталону. Организация ситуации успеха.

7) Включение в систему знаний и повторение: Выполнение заданий, где новый способ действий используется как шаг в более общем алгоритме решения.
Решение заданий на тренировку ранее изученных алгоритмов, с целью подготовки введения нового знания.
8) Рефлексия деятельности (итог урока): Самооценка детьми собственной деятельности.
Соотнесение полученных результатов с поставленной целью деятельности.
Цель дальнейшей деятельности.

Методами учета и оценки результатов обучения являются тестирование, $входной контроль(+ итоговый), рейтинг итоговый, а также возможно составление

учебного портфолио по математике :

-работы ученика, как классные самостоятельные, так и домашние;

— прикладные математические проекты (индивидуальные или групповые);

— решения сложных занимательных задач;

— решение задач из учебника, выполненных самостоятельно сверх учебной программы;

— математическое сочинение по сложным вопросам темы;

$-математический реферат с историческим содержанием;

— фотографии или зарисовки наглядных пособий по учебным темам, моделей, изготовленных учащимся или группой учащихся;

— копии статей из журналов, книг или Интернет, прочитанных учащимся по конкретной теме;

— задачи, составленные самими учащимся;

— уровень реальных достижений и описание причин в случае недостижения целей;

— графические работы учащихся, выполненные по данным темам;

— описание экспериментов и лабораторных работ, выполненных учащимся как индивидуально, так и в группе;

— тексты докладов, прочитанных учеником на конференциях;

— копии работ учащегося, выполненные на элективных курсах;

$- дипломы, поощрения, награды по математике;

— лист целей, которых учащийся хотел бы достигнуть после изучения учебной темы; уровень реальных достижений и описание причин в случае недостижения целей.

заметки учителя по наблюдению за данным учащимся на уроках математики;

— листы проверок учителя с комментариями (участие в работе класса, посещаемость, уровень и качество выполнения работ);

— математическая характеристика, включающая количественные и качественные результаты;

— отзывы других учителей, администрации, родителей, одноклассников, общественных организаций и д$р.

Критерии оценки портфолио (описание предполагаемых результатов):

  • Развитость математического мышления (гибкость, рациональность, оригинальность мышления);

  • сформированность умения решать задачи;

  • сформированность прикладных умений (способность решать практические проблемы, прикладные задачи);

  • р$азвитость коммуникативных умений (умение работать в малых группах, умение выступать с математическими докладами, сформированность письменного математического языка, умение чётко и аргументированно излагать свою мысль, грамотность в оформлении решений задач и доказательств теорем, умелое использование графиков, диаграмм, таблиц и т.д.);

  • сформированность навыков самоконтроля и самооценки (самокритичность, умение работать над ошибками, реалистичность в оценке своих способностей…)

$Уровни итоговой оценки.

  • Самый высокий уровень (“отлично”). Учебные портфолио характеризуются всесторонностью в отражении основных категорий и критериев оценки. Содержание свидетельствует о больших приложенных усилиях и очевидном прогрессе учащегося по уровню развития его математического мышления, умения решать задачи, прикладных и коммуникативных умений, наличия высокого уровня самооценки и творческого отношения к предмету. В содержании и оформлении портфолио ярко проявляются оригинальность и изобретательность.

  • Высокий уровень (“хорошо”). Портфолио демонстрирует солидные математические знания и умения учащегося, но, в отличие от предыдущего, в нём могут отсутствовать некоторые элементы из необязательных категорий, а также может быть недостаточно выражена оригинальность в содержании и отсутствовать творческий элемент в оформлении.

  • Средний уровень (“удовлетворитель$но”). В портфолио основной акцент сделан на обязательной категории, по которой можно судить об уровне сформированности программных знаний и умений. Отсутствуют свидетельства, демонстрирующие уровень развития творческого математического мышления, прикладных умений, способностей к содержательной коммуникации на языке математики (как устном, так и письменном).

  • Слабый уровень (“неудовлетворительно”). По портфолио трудно получить общее представление о математических способностях учащегося. В нём представлены отрывочные задания из разных категорий, отдельные листы с неполностью выполненными заданиями, образцы попыток выполнения графи$ческих работ и т.п. Практически невозможно определить прогресс в обучении и уровень сформированности качеств, отражающих основные цели курса и критерии оценки.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА.

Тема

Кол.час

Вид занятий

$

1

Основные понятия

1

Лекция

2

Уравнени$е с двумя переменными и его график

1

Практикум,

Лаб работа

3

Система уравнений с двумя переменными

1

$Лекция

4

Метод подстановки

2

Лекция

Практикум в компьют классе

5

Метод алгебраического сложения

$

2

Лекция

Практикум в компьют классе.

Зачет .

6

Другие способы решения систем уравнений

$

1

$ Практикум в компьют классе.

7

Решение задач

2

Лекция

Зачет .

Творч. отчет

8

Определители. Свойства и вычисления

  • Общие понятия

  • $

  • Свойства

  • Вычисления определителя

1

Лекция +

практикум

9

$Матрицы и действия над ними

  • Виды матриц

  • Линейные операции

  • Нелинейные операции

  • $Обратная матрица

  • Матричные уравнения

  • Ранг матрицы

1

Лекция

10

Системы линейных уравнений

  • Общие понятия

  • Метод Крамера

  • $

  • Матричный метод

  • Метод Гаусса

  • Однородные системы

4

Лекция

Практикум

Защита Творч. Работ,$

проектов

Защита проектов

1

$

Формой итогового контроля являются рефераты, проекты, практикумы в компьютерном классе, презентации которые проходят на уроках в своем, чужом классах, на элективных курсах, на школьной и городской НПК.

Темы проектов:

  1. Экскурс в историю решений систем уравнений;

  2. Сравнительная характеристика подачи способа подстановки в различных учебных пособиях;

    $

  3. Сравнительная характеристика подачи способа алгебраического сложения в различных учебных пособиях;

  4. Графический способ решения систем уравнений;

  5. Различные способы решения систем уравнений;

  6. Составление базы заданий по различным способам решений;

  7. Составление базы практических, прикладных, исторических задач по данной теме.

  8. Решение одной системы уравнений всеми известными и возможными способами

Темы рефератов:$

  1. Матрицы и действия над ними;

  2. Решение систем уравнений методом Крамера;

  3. Решение систем уравнений методом Гаусса;

  4. Решение систем уравнений матричным методом.

  5. Собственные векторы и собственные значения матриц;

  6. Определители. Свойства и вычисления.

  7. Системы уравнений и $их способы решений.

Содержание блоков:

  1. Основные понятия систем линейных уравнений, и уравнений второй степени с двумя переменными ;

  2. решение систем уравнений различными способами:

    • рассматриваются системы линейных уравнений ;

    • системы уравнений второй степени с двумя переменными;

    • сис$темы содержащие параметры, из ЕГЭ.

  1. Решение практических, прикладных задач.

  2. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей, первоначальное знакомство с матрицами.

  3. Основное знакомство с матрицами и действиями над ними;

  4. Решение систем уравнений:

    • Методом Крамера;

    • Матричным методом;

    • $Методом Гаусса;

    Рассмотрение однородных систем.

    Курс предполагает использование следующих материальных образовательных ресурсов:

    • Раздаточный материал по темам;

    • Работа на ПЭВМ в компьютерном классе, компьютерных программ;

    • $

    • Наглядный материал, по теме решение систем уравнений графическим способом.,

    $

    Практикум.

    Задания по теме «Решение систем разными способами»

    Это хорошо решить!

    П
    опробуй свои силы!

    $

    Задания по теме «Теорема Крамера»

    Задание.

    Заполните пропуски в таблице

    Задание.

    Решите системы уравнений, используя формулы Крамера:

    $

    Задание.

    Выясните, какие из следующих систем можно решить с помощью формул Крамера, и решите их, а если нет, то решите их любым другим способом:

    Задание.

    Даны системы. Не решая их, определите чис­ло решений, т.е. определите по внешнему виду систем, какие из них

    $ — совместные;

    • несовместные;

    — определенные;

    — неопределенные?

    Задание.

    Вычислите определители матриц:

    $

    Задание.

    Решите системы:

    Задание.

    Даны системы. Не решая их, определите, ка­кие из них являются совместными? Несовмест­ными? Определенными? Неопределенными? Затем решите их.

    Задание.

    Дано одно уравнение системы, припишите к нему другое уравнение так, чтобы полученная система:

    — не имела решений;

    — имела единственное решение;

    $— имела бесконечное число решений.

    $

    Задание.

    Может ли система

    а) иметь единственное решение;

    б) иметь бесконечное множество решений;

    в) не иметь решений?

    Какими должны быть коэффициенты в каждом возможном случае?

    Задание.

    Найти все значения параметра а, при которых система не имеет решений:

    Задание 4.

    Дана система

    Найдите такие значения Ь, при которых сис­тема имела бы:

    $— единственное решение,

    • бесконечное число решений.

    Задание.

    а) Определите, при каких значениях парамет­ра k система

    имеет бесконечное ч$исло решений.

    б) Определите, при каких значениях параметра k система

    не имеет решений.

    Задание . . .Дана система с параметром а :

    Объясните предложенное решение: 1-й шаг.

    2-й шаг.

    $

    3-й шаг.при а = 1 или а =-1. а) а = 1,

    1 х + у = 1,

    у = 1 — х, х — любое;

    $б)а = -1,

    решений нет.

    Задание.

    Решитесистемы с параметром:

    Задание.

    Найти все значения параметра с, при которых система не имеет решений:

    $

    Задание.

    Решите систему с параметрами а и Ь:

    Задание.

    Решите систему используя параметр k.

    ЛИСТ КОНТРОЛЯ

    1. Как вывести формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

    2. Как решать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, если нельзя пользоваться формулами Крамера?

    3.Какая система линейных уравнений называется совместной? несовместной? определенной? неопределенной?

    4.Как формулируется теорема Крамера?

    $5.Как вычислить определитель второго порядка?

    6. Как вычислить определитель третьего порядка?

    7. В каком случае система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет единст­венное решение?

    8.В каком случае система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение?

    $9.В каком случае система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет беско­нечное число решений?

    10.В каком случае система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет беско­нечное число решений?

    11.В каком случае система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не имеет решений?

    12.В каком случае система трех линейных уравнений с тремя неизвестными не имеет решений ?

    13. Как решать определенную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными?

    14.Что называется решением уравнения с n неизвестными?

    15. Как решать уравнение с n неизвестными, если хотя бы один из коэффициентов при неиз­вестных отличен от нуля?

    Задания по теме «Ме$тод Гаусса»

    ЗАДАНИЕ .

    Решите системы уравнений:

    *• *

    $

    ЗАДАНИЕ .

    а) Прокомментируйте решение системы:

    x1 = 1,

    6) x2= 2, x3 = -2.

    б) Решите систему

    в)Равносильны ли системы а) и б)?

    ЗАДАНИЕ .

    а) Решите системы уравнений:

    $ б) Составьте аналогичные по внешнему виду системы из трех уравнений с четырьмя, пятью и шестью неизвестными и решите их.

    ЗАДАНИЕ .

    При решении систем методом Гаусса были получены системы:

    Можно ли утверждать, что первая система совместна и неопределенна, а вторая — несов­местна? Закончите$ решения этих систем.

    ЗАДАНИЕ .

    а) Решите систему

    б) Верно ли, что система из а) равносильна сис­теме

    в) Верно ли, что система из а) равносильна сис­теме, имеющей общее решение:

    $

    ЗАДАНИЕ .

    Решите системы уравнений:

    ЗАДАНИЕ .

    Решите системы уравнений:

    ?

    $

    ЗАДАНИЕ .

    Доказать, что система уравнений

    при k, отличном от 1 и -3, имеет единственное решение.

    ЗАДАНИЕ.

    Доказать, что система уравнений

    имеет единственное решение. Найти это реше­ние.

    ЗАДАНИЕ .

    Доказать, что система уравнений

    $имеет единственное решение. Найти это решение.

    ЗАДАНИЕ .

    При каком условии система уравнений

    ;

    имеет единственное решение? Найти это решение.

    $ ЗАДАНИЕ.

    Доказать, что система уравнений

    имеет единственное нулевое решение (т.е. x1 = х2 =К = х100 = О).

    ЛИСТ КОНТРОЛЯ.

    $1.Какие две системы называются равносильными?

    2. Каковы способы перехода к равносильным системам?

    3. В чем состоит прием доказательства равносильности двух систем?

    4. Как можно проверить равносильность определенных систем?

    5.Как можно проверить равносильность неопределенных систем?

    6.Каким методом можно решить системы линейных уравнений с любым числом неизвестных?

    7. В чем состоит метод Гаусса?

    $

    Список использованной литературы:

    1. $А.Г .Мордкович, Алгебра 7,М.: Мнемозина,2006

    2. А.Г Мордкович., Алгебра 9, М.: Мнемозина,2006

    3. Ю.Н Макарычев., Н.Г Миндюк, Алгебра 9. Учебник с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина 2003

    4. В.С Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.

    5. Л.И Терехина., И.И Фикс. Высшая математика. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Ч.1,Изд-во «Дельтаплан», 2002, Томск.

    6. Ш.А Алимов, Алгебра 7, М.: Мнемозина,2006

    7. Ш.А Алимов, Алгебра 9, М.: Мнемозина,2006

    8. А.С Солодовников, Г.А Торопова. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. Учебное пособие для учащихся сред.сп5ец.учеб.заведений – М.: Высшая школа,1987

    9. $ТГУ, механико- механический факультет. Составители: О.Н. Балыкина, О.М. Биматова, Л.Г. Плеханова, Е.П.Шамова. Сборник задач по математике. Часть 1. Элементы линейной алгебры…

    10. И.Ф.Шарыгин. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 10 класса средней школы. $

    11. С.К.Росошек, Л.Б. Хают, И.Е.Малова. Системы уравнений., Томск,2003

  5. Еще записи

    Leave a Comment