Программа элективного курса по алгебре «Десятая проблема Гильберта, или уравнения Диофанта» 8-9 класс

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 33

с углубленным изуче$нием отдельных предметов

Дзержинского района города Волгограда

Программа элективного курса по ал$гебре для 9 класса

Десятая проблема Гильберта, или уравнения Диофанта

$

Составитель:

Кулик Татьяна Анатольевна,

учитель математики

МОУ СОШ № 33

$

Волгоград, 2013

Содержание:

Оглавление

. (1)

Существует несколько способов решения уравнения (1). Мы рассмотрим их на следующих занятиях.

Отметим, что в пе$рвый раз сочинения Диофанта были изданы в латинском переводе, в 1575 году; затем в 1621 году Bachet de Méziriac издал греческий текст Диофанта с переводом на латинский язык и собственными примечаниями; тот же перевод был переиздан в 1670 году с замечательными примечаниями Ферма; кроме того, имеются переводы на французский и немецкий.

3. Распределение заданий для подготовки к следующим занятиям проводится в соответствии с Приложением 2. Учащимся предлагается как групповая форма для подго$товки заданий, так и по желанию — индивидуальная. Учитель раздает карточки с заданиями, в которых указаны тема, список литературы. Предлагается для поиска тематической информации использовать и ресурсы сети Интернет. Обращается внимание, что задание может быть выполнено в форме презентации или реферата. Учитель определяет дату выступления учащихся на занятии, график консультаций.

Занятие 2. Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов

$ План занятия

  1. Актуализация знаний учащихся по теме «Линейное уравнение
    с двумя переменными».

  2. Изучение нового материала. Определение диофантова уравнения, диофантова уравнения первой степени с двумя переменными. Способ перебора вариантов как один из методов нахождения целых (натуральных) решений диофантовых уравнений.

  3. Решение задач способом перебора вариантов.

  4. Постановка домашнего задания.

$ Оборудование: компьютер, слайды с заданиями, карточки с заданиями.

Ход занятия.

1. Актуализация знаний

Рассмотрим задачу.

В клетке находится x фазанов и у кроликов. Сколько в клетке фазанов и кроликов, если общее количество ног равно 62.

$ Общее число ног можно записать с помощью уравнения

2х + 4у = 62. (*)

Это равенство, которое мы составили по условию задачи, как вы знаете, называют уравнением с двумя переменными. Более того, данное уравнение мы называли линейным уравнением. Линейные уравнения играют важную роль при решении различных задач. Далее следует напомнить основные положения, связанные с этим понятием: определения линейного уравнения с двумя переменными и его решения, определения графика уравнения, равносильных уравнений, свойств равносильности.

2. Изучение нового материала

$ Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Учитель обращает внимание на то, что различные текстовые задачи часто можно решать с помощью некоторого уравнения или системы уравнений. При этом стремимся составить по условиям задачи столько независимых уравнений, сколько имеется неизвестных. Но иногда это сделать невозможно: число независимых уравнений, которые можно составить по условию задачи, меньше числа неизвестных. Однако достаточно часто условие задачи накладывает какие-то другие дополнительные ограничения$ на неизвестные, которые вместе с полученными уравнениями позволяют найти значения неизвестных. Так, из условия может быть ясно, что искомые числа — целые или натуральные или заключенные в заданных пределах. Как, например, в задаче про кроликов и фазанов.

Таким образом, учитель подводит учащихся к определению диофантовых уравнений вообще и диофантовых уравнений первой степени с двумя переменными в частности. Обращается внимание учащихся на то, что фактически данное уравнение является линейным с двумя переменными, с которым они знакомились в курсе алгебры. Мы будем рассматривать задачи, которые сводятся к решению диофантова уравнения первой степени с двумя неизвестными: (1), где a, b, c$ — целые коэффициенты.

Существует несколько способов решения уравнения (1). На этом занятии рассмотрим способ перебора вариантов.

Рассматривая способ перебора вариантов, необходимо учитывать количество возможных решений уравнения. Целесообразно использовать задачи, у которых количество решений не превышает 5. Рассмотрим данный способ при решении следующей задачи.

Пример 1.

Андрей работает летом в $кафе. За каждый час ему платят 10 р. И высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

Решение.

Пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10х р. ему заплатили, но он разбил у тарелок, и с него вычли 2у р. Имеем уравнение 10х – 2у = 180, причем x меньше или равен 21. Получим: 5х – у = 90, 5х = 90 + у, х = 18 + у : 5.$

Так как x — целое число, то у должно нацело делится на 5, чтобы
в правой части получилось целое число. Возможны четыре случая:

  1. у = 0, х = 18, т. е. решением является пара — (18; 0);

  2. у = 5, х = 19, (19; 5);

  3. у = 10, х = 20, (20; 10);

  4. $

  5. у = 15, х = 21, (21; 15).

3. Решение задач

Для решения на занятии можно предложить задачи № 1(а), 2, 5 из Приложения 1. Приведем решение задачи № 5.

Задача № 5. Из двухрублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 р. Сколько среди этих монет двухрублевых?

$Решение. Пусть x — количество двухрублевых монет, у — количество пятирублевых монет. Составим и решим уравнение: 2х + 5у = 23; 2х = 23 – 5у;
x = (23 5у) : 2; x = (22 + 1 – 5у) : 2, почленно поделим 22 на 2 и (1 – 5у) на 2, получим: x = 11 + (1 – 5у) : 2.

Так как x и y — натуральные числа по условию задачи, то левая часть уравнения ес$ть натуральное число, значит, и правая часть должна быть натуральным числом. К тому же, чтобы получить в правой части число натуральное, нужно чтобы выражение (1 – ) нацело делилось на 2. Осуществим перебор вариантов.

  1. y = 1, х = 9, то есть двухрублевых монет может быть 9;

  2. у = 2, при этом выражение (1 – 5у) не делится нацело на 2;

  3. у = 3, х = 4, то есть двухрублевых монет может быть 4;

  4. при у больше или равном 4 значение x не является числом натуральным.

Таким образом, ответ в задаче: среди монет 9 или 4 двухрублевых.

$4. Домашнее задание (в домашнее задание включаются упражнения, аналогичные, рассмотренным заданиям в классе).

  1. Выучить определение диофантова уравнения первой степени, повторить основные сведения по теме «Линейные уравнения с двумя переменными», знать суть способа перебора вариантов для решения диофантовых уравнений.

  2. Решить № 1(б), 3, 4 из Приложения 1.

  3. $Составить задачу, математической моделью которой является уравнение из № 1(б).

$Занятие 3. Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида

План занятия

  1. Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (повторение).

  2. Вывод формул для решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.

  3. Примеры решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.

Оборудование: конспект лекции на доске (интерактивной доске) и индивидуальные заготовки для каждого ученика.

Ход занятия

    1. $Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (повторение)

Существует довольно простой прием, позволяющий находить наибольший делитель двух натуральных чисел. Этот прием называется алгоритмом Евклида. Вы с ним познакомились еще при изучении курса математики в 6 классе. Евклид, великий ученый, живший около 2000 лет назад, занимался не только геометрией, которая носит его имя. Ему принадлежит решение ряда важных задач арифметики и, в частности, тот способ нахождения наибольшего общего делителя, который мы сегодня будем использовать при изучении нового материала. А сейчас повторим суть алгоритма Евклида. Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел:

1) надо бол$ьшее из двух чисел разделить на меньшее;

2) потом меньшее из чисел на остаток при первом делении;

3) затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД двух данных чисел.

$

Рассмотрим пример.

Найти НОД (645; 381).

Решение.

Разделим с остатком 645$ на 381. Мы получим: 645 = 381 · 1 + 264.

Далее разделим с остатком 381 на 264, получим: 381 = 264 · 1 + 117.

Теперь разделим с остатком 264 на 117, получим: 264 = 117 · 2 + 30.

Продолжим процесс деления, разделим с остатком 117 на 30, получим: 117 = 30 · 3 + 27. Далее, 30 = 27 · 1 + 3. Следующий шаг — делим 27 на 3, получаем, что 27 = 3 · 9 + 0, т. е. 27 делится на 3 без остатка. Значит, наибольший общий делитель чисел 27 и 3 равен 3, следовательно, и наибольший общий делитель чисел 645 и 381 равен 3, т. е. последнему отличному от нуля остатку. Таким образом, НОД (645; 381) = 3.

$

Прием разыскания наибольшего общего делителя, примененный в этом примере, и представляет собой алгоритм Евклида.

2. Вывод формул для решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.

3. Примеры решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида

Рассмотрим решение заданий № 6(а), 7 из Приложения 1.

Задание № 6. Решить уравнение на множестве целых чисел

а) 7х + 11у = 69.

НОД (7; 11) = 1, Найдем значение х0 и у0$ для получения решений уравнения по формулам (3). Применим алгоритм Евклида к числам 11 и 7:

Таким образом, получаем: , следовательно, х0 = –3, у0 = 2.

Запишем общее решение уравнения на множестве целых чисел согласно формулам (3):

Придавая конкретные целые значения t, можно получить ча$стные
решения уравнения. Например, при t = 1, имеем x = –196, у = 131.

Задача № 7. Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод протяженностью 150 м. Имеются трубы длиной 13 м и 9 м. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода.

Решение.

Пусть требуется x$ труб по 9 м, и у труб по 13 м. Составим и решим уравнение: 9х + 13у = 150.

НОД (9; 13) = 1, уравнение разрешимо во множестве целых чисел.

Найдем значения х0 и у0 для получения решений уравнения по формулам (3). Применим алгоритм Евклида к числам 13 и 9:

Запишем общее решение уравнения согласно формулам (3).

Так как x и y — неотрицательные целые числа, то чтобы найти значение t, решим систему неравенств:

$

Ответ. Для прокладывания газопровода потребуется 8 труб длиной по 9 м и 6 труб по 13 м.

4. Домашнее задание:

Решить № 6(б), 8 из Приложения 1, составить сюжетную задачу, решение которой сводится к уравнению из № 6(б) на множестве целых неотрицательных или натуральных чисел. Найти ее решения.$

Занятие 4. Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида
План занятия:

    1. Актуализация знаний (проверка знания теории и выполнения практических заданий).

    2. Решение задач с использованием алгоритма Евклида.

    3. Постановка домашнего задания.

Оборудование:$ опорные конспекты предыдущей лекции, карточки с заданиями для фронтальной и групповой работы.

Ход занятия

  1. Актуализация $знаний

Проведение первого этапа занятия-практикума — учитель может спланировать по своему усмотрению. Необходимо организовать проверку выполнения домашнего задания, включающего как теоретические вопросы, так и практические задания.

    1. Решение задач с использованием алгоритма Евклида

Задания для решения выбираются по принципу: от простого к сложному. Для овладения методом решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида можно предложить вначале решить уравнения, не связанные с какой-либо реальной ситуацией. Например, № 6(в, г). Затем можно предложить решение текстовых задач на составление линейных диофантовых уравнений: например № $9, 10 (все задания указаны из Приложения 1). Задания можно выполнить в группах, а затем проверить полученные ответы. Ниже приведем решение задачи № 9.

Неотъемлемой частью занятия-практикума является решение нестандартных задач, заданий повышенной трудности. В процессе их выполнения можно использовать прием разбиения на подзадачи. К таким заданиям можно отнести и задачу № 11, которую мы далее рассмотрим.

Заметим, что в ходе решения задач, учащиеся могут опираться на заполненный опорный конспект предыдущей лекции, в котором выделен способ решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.

$ Задача № 9. Транспортные организации имеют в наличие машины вместимостью 3,5 т и 4,5 т. Следует перевезти груз весом 53 т. Сколько машин нужно выделить для одного рейса?

Решение.

Пу$сть x машин по 3,5 т, у — машин по 4,5 т. Составим и решим уравнение: 3,5х + 4,5у = 53. Перейдем к уравнению с целыми коэффициентами, например, умножим обе части уравнения на 2. Получим: 7х + 9у = 106.

НОД (7; 9) = 1, уравнение имеет целые решения.

Так как t — принимает целые значения, то системе неравенств удовлетворяют значения t = –47 и t = –46. Получим решение диофантова уравнения в натуральных числах:

Таким образом, для одного рейса можно взять:

а) 1 машину вместимостью 3,5 т и 11 машин вместимостью 4,5 т;

$ б) 10 машин вместимостью 3,5 т и 4 машины вместимостью 4,5 т.

Полезно обратить внимание на то, какой из возможных вариантов будет наиболее эффективным для работы предприятия с экономической точки зрения (экономия бензина, средств на оплату труда водителям и т. д.).

Задача № 11. Школа получила 1 млн р. на приобретение 100 единиц учебного оборудования (на всю сумму без сдачи). Администрации школы предложили оборудование стоимостью 3 000, 8 000 и 12 000 р. за единицу. Сколькими способами школа может закупить это оборудование. Укажите один из способов.

$Решение.

В ходе обсуждения идеи решения данной задачи, необходимо выяснить: что дано, что неизвестно в условии, как связаны между собой данные и искомые. Затем переходить к составлению математической модели задачи.

1) Со$ставление системы уравнений.

Пусть приобретено x единиц оборудования по 12 000 р., y единиц оборудования по 8 000 р., z единиц оборудования по 3 000 р.

Всего приобретено 100 единиц оборудования, т. е. x + y + z = 100, причем на приобретение 100 единиц оборудования затрачено 1 млн р., т. е.

12 000 x + 8 000 y + 3 000 z = 1 000 000,

12x + 8y + 3z = 1 000.

Таким образом, получаем систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Вопрос учителя: всегда л$и задача будет иметь решение? Иначе: какими должны быть x, y, z ?

(Ответ: x > 0, y > 0, z > 0.)

2) Обсуждение решения системы.$

Во-первых, исключим z путем вычитания из второго уравнения первого, умноженного на 3. Следовательно, получаем диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными 9 x+ 5 y = 700.

Во-вторых, его можно решить способом с использованием алгоритма Евклида.

3) Оформление решения задачи.

Так как уже получили уравнение, которое решается известным способом, то оформление решения можно предложить выполнить учащимся дома. В результате решения получается, что приобрести оборудование библиотека может шестью способами. Укажем одно из частных решений задачи: x = 65, y = 23, z = 12, т. е. школа на 1 млн р. $может приобрести 65 единиц оборудования по 12 000 р., 23 единицы оборудования по 8 000 р., 12 единиц оборудования по 3 000 р.

3. Постановка домашнего задания

В качестве домашнего задания можно предложить учащимся решить задачи № 2, 3, 5 из Приложения 1 с использованием алгоритма Евклида.

Занятие 5. Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби

$ План занятия:

  1. Понятие цепной дроби. Представление рациональных чисел в виде цепной дроби.

    $

  2. Формулы для решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби.

  3. Примеры решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби.

Оборудование: конспект лекции на доске и индивидуальные заготовки для каждого ученика.

Ход занятия

Занятие 5 по своей структуре аналогично занятию 3. В качестве примеров решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби предлагается рассмотреть задания из Приложения 1. Заметим, что можно взять уже ранее решенные задачи и выполнить их решение новым способом.

  1. Понятие цепной дроби. Представление рац$иональных чисел в виде цепной дроби.

Обратимся вновь к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (2) вытекает, что дробь a/b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: . Из второго равенства той же системы имеем. Значит, .$

Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придем к знаменателю qп.

В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде: . Эйлер назвал дробь, стоящую в правой части равенства непрерывной. Приблизительно в то же время в Германии появился другой термин — цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развернутой записи цепной дроби применяют компактную запись

a/b = [q0; q1, $q2, …, qп].

Пример 1.

Представить рациональное число в виде цепной дроби.

Решение.

.

Очевидно, что любое рациональное число, и только оно, записывается в виде конечной цепной дроби. Иррациональным числам соответствуют бесконечные цепные дроби.

$ Если при построении цепной дроби остановиться на знаменателе qk, то получится дробь [q0; q1, q2, …, qк], которую называют к-й подходящей дробью для искомой и обозначают Найдем вид некоторых подходящих дробей:

Для рационального числа a/b последовательность подходящих дробей конечна, и ее последний элемент Не Нетрудно заметить, что имеют место следующие рекуррентные соотношения:

(4)

  1. Формулы для решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби$

Вернемся к уравнению: ax + by = c (1). Напомним, что в нем a и b взаимно просты. Решение этого уравнения «способом цепной дроби» завершается применением готовых формул (доказательство которых можно найти в специальных пособиях), представляющих общее решение данного уравнения.

(5)

Решим этим способом диофантово уравнение.

Пример 2.

$ Решить уравнение 44х + 13у = 5.

Решение.

Так как , то n = 4. Составим $«подходящие дроби».

Найдем P3 и Q3 используя формулы (4): P3 = 10 + 7 = 17, Q3 = 3 + 2 = 5.

Все готово к применению формул (5). Общее решение уравнения
будет иметь вид: х = –25 + 13t, y = 85 – 44t$, где t — целое число.

После введения нового материала в конспекте-заготовке лекции необходимо выделить алгоритм решения диофантова уравнения с использованием цепной дроби. Этот алгоритм можно представить в следующем виде.

Для решения уравнения (1), где a, b, c — целые коэффициенты, способом цепной дроби нужно:

  1. Представить дробь a/b в виде конечной цепной дроби.

  2. Записать дробь a/b= [q0; q1,q2, … ,qn].

  3. $Составить таблицу для нахождения значений числителя и знаменателя подходящих дробей для полученной цепной дроби, последняя подходящая дробь .

Начальные условия

q0

$q1

q2

$qn

Pi

1

q0

q0 q1+ 1

(q0 q1+1) q2+ q0$

a

Qi

0

1

q1

q2 q1 + $1

$b

  1. Найдем решение уравнения по следующим формулам:

Решим задачу № 7 из Приложения 1 способом цепной дроби. Для ответа на вопрос задачи требуется решить диофантово уравнение: 9х + 13у = 150.

Решение.

  1. Представим дробь 9/13 в виде конечной цепной дроби.

.

  1. Запишем дробь в виде цепной дроби 9/13 = [0; 1, 2, 4].

  2. Составим таблицу

$

Начальные условия

q0 = 0

q1= 1

q2= 2

q3= 4$

Pi

$

1

0

1

2

9

Qi

0

1

1

$3

13

4. Запишем общее решение уравнения:

$ Как и в решении способом с использованием алгоритма Евклида, мы получили такой же вид общего решения. А решение задачи выражается той же парой чисел: (8; 6).

3. Домашнее задание должно включать как вопросы по теоретическому материалу, так и практические задания.

$ Занятие 6. Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби
План занятия

  1. Актуализация знаний (проверка знания теории и выполнения практических заданий).

  2. Решение задач с использованием цепной дроби.

  3. $Постановка домашнего задания.

Оборудование: опорные конспекты предыдущей лекции, карточки с заданиями для фронтальной и групповой работы.

Ход занятия

Основная цель занятия — овладение учащимися способом решения уравнений с использованием цепной дроби. Необходимо провести проверку усвоения теоретического материала: основных понятий, алгоритма решения. Целесообразно, чтобы формулы для решения уравнения были «перед глазами учащихся» в процессе проведения занятия. Можно записать их на $доске, а также использовать заполненные опорные конспекты предыдущей лекции.

На занятии нужно рассмотреть задачи, для которых сразу ясна идея решения (№ 12(а, б), 13, 14 из Приложения 1), а также задачи, требующие обдумывания и смекалки (№ 15, 16 из Приложения 1). Задачи № 15, 16 можно предложить учащимся для решения в группах, а затем проверить решение фронтально. Можно до оформления решения обсудить его идею, наметив основные шаги, и предложить учащимся выполнить решение самостоятельно. Затем проверить полученный ответ. Часть из предлагаемых заданий можно дать на дом учащимся.

Рассмотрим решение задач № 15 и 16.

Задача № 15. Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причем петух стоит 5 монет, курица — 4, а 4 цыпленка — одну монету?

Решение.

Пусть x — искомое число петухов, у — кур, а 4z — цыплят. Составим систему уравнений, которую надо решить в целых неотрицательных числах.

$

Умножив первое уравнение системы на 4, а второе на (–1) и сложив результаты, придем к уравнению x$ + 15z = 300 с целочисленными решениями x = –300 + 15t, z = t. Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 – 19t. Значит, целочисленные решения системы имеют вид

x = –300 + 15t, y = 400 – 19t, z = t.

Из условия задачи вытекает, что

откуда , т. е. t = 20 или t = 21.

Ответ. На 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка.

Задача № 16. Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. О$на ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним,
а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?

Решение.

Пусть x — число яиц. Так как (x1) делится на 2, $на 3, на 4, на 5, на 6, то оно делится на их НОК, равное 60. Значит, x имеет вид 60у + 1.

Поэтому для ответа на вопрос задачи надо решить в натуральных числах уравнение 60у + 1 = 7z или 7z – 60у = 1.

С помощью способа с использованием цепной дроби получаем, что целочисленные решения уравнения имеют вид у = –2 + 7t, z = –17 + 60t, где t — любое целое число.

$ Наименьшее положительное решение получаем при t = 1. В этом случае у = 5, z = 43. Итак, крестьянка несла на базар 301 яйцо.

Ответ. Крестьянка несла на базар 301 яйцо.

В домашнее задание обязательно включить повторение способов решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида
и цепной дроби, а также ряд задач, которые нужно решить этими способами.

Заняти$я 7-8. Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений

План занятия

  1. Проверка домашнего задания (форму проверки выбирает учитель,
    в данном случае можно провести самостоятельную работу на 10 мин по материалу предыдущих занятий).

    $

  2. Изучение нового материала. Способ измельчения коэффициентов как один из методов нахождения целых (натуральных) решений диофантовых уравнений.

  3. Решение задач способом измельчения коэффициентов.

  4. Постановка домашнего задания.

Оборудование: компьютер, проектор, слайды с заданиями, карточки
с заданиями.

Ход занятия

  1. Проверка домашнего задания (в форме самостоятельной работы)

Решить уравнение двумя способами: с использованием алгоритма Евклида и цепной дро$би:

1 вариант: 2x + 5y = 17. Ответ: (1; 3), (6; 1).

2 вариант: 5х + 8у = 39. Ответ: (3; 3)

Можно предложить учащимся текстовую задачу, сводимую к диофантову уравнению. Так как уравнение нужно решить двумя способами, то ученик имеет возможность контролировать себя сам, а как следствие — искать и устранять ошибки, если таковые имеются.

  1. $ Изучение нового материала

На этом этапе необходимо ознакомить учащихся с методом рассеивания (измельчения) для решения диофантовых уравнений: разъяснить суть данного метода, привести некоторые исторические сведения, показать на примере использование данного метода для решения задач.

$ Способ рассеивания (размельчения) впервые применил в начале
VI века индийский математик Ариабхатта. Метод заключается в сведении данного уравнения к последовательности других уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед неизвестными.

Продемонстрируем его на примере решения следующей задачи.

Задача. Найти два числа, если разность произведений первого на 19
и второго на 8 равна 13.

Реш$ение.

Требуется решить уравнение 19х – 8у = 13.

Перепишем его иначе: 8y =19x – 13; 8y = 16x + 3x – 13; у = 2х +

и обозначим y1 = у – 2х.

В результате уравнение примет вид 8у1 = 3x$ – 13 или x = 2y1.

Если вновь произвести замену х1 = x2у1, то придем к уравнению
3xl2у1 = 13.

Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились — измельчились. Продолжим дальнейшее их уменьшение: так как y$1 = xl +, то положим у2= у1 –х1.

В результате последнее уравнение преобразуется к виду х12у2= 13. Здесь коэффициент при х1, равен 1, а поэтому при любом целом у2 = t число х1 тоже целое.

Остается выразить исходные переменные через t: вначале выразим х1 = 2t + 13, y1 = 3t + 13; а затем x = 8t + 39, y = 19t + 91.

$Итак, получаем бесконечную последовательность (39 + 8t, 91 + 19t) целочисленных решений.

Нетрудно заметить, что методы цепных дробей и рассеивания являются лишь другой формой применения алгоритма Евклида.

3. Решение задач способом измельчения коэффициентов

$ Для решения можно предложить учащимся как новые задания, так
и уже ранее решенные, но потребовать применить способ измельчения. Данный способ еще называют «методом спуска».

Задача № 18(а).

Решить способом измельчения в целых числах уравнение 5x + 8y = 39.

Решение:

1. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое $неизвестное: x = (39 – 8y) : 5.

Выделим целую часть: x = 7 – y + (4 – 3y) : 5.

Все число будет целым, если целым окажется значение (4 – 3y) : 5.

Это возможно тогда, когда число (4 – 3y) без остатка делится на$ 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее уравнение запишем в виде: 4 – 3y = 5z.

Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное уравнение, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его уже нужно относительно переменных y и z.

2. y = (4 – 5z) : 3 = 1 – z + (1 – 2z) : 3.

Аналогично рассуждая, запи$шем (1 – 2z) через новую целочисленную переменную и: 1 – 2z = 3u.

4. z = (1 – 3u) : 2 = (1u):2 – u; 1 – u = 2v.

3. u = 1 – 2v — дробей больше нет, спуск закончен.

5. Теперь необходимо «подняться вверх». Вырази$м через переменную v сначала z, потом y и затем x.

z = (1 – u) : 2 – u = (1 – 1 + 2v) : 2 – 1 + 2v = 3v – 1,

z = 3v – 1.

y = (4 – 5z) : 3 = (4 – 5(3v – 1)) : 3 = 3 – 5v,

y = 3 – 5v.

x = (39 8y) : 5 = (39 8(3 5v)) : 5 = 3 + 8v, $

x = 3 + 8v.

6. Формулы x = 3 + 8v, y = 3 – 5v пред$ставляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

7. Если необходимо получить только натуральные числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых x > 0, y > 0, то есть 3 + 8v > 0, 3 – 5v > 0. Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v = 0. В этом случае x = 3, y = 3.

8. Ответ. (3; 3).

С учащимися можно рассмотреть и более сложные задания, решая их именно «методом спуска».

Задача № 19.

Решить в целых числах 29х + 13у + 56 z = 17. (1)

$ Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные.

y = (17 – 29 х – 56 z) : 13 = (1 – 2x – 4z) + (4 – 3x4z) : 13. (2)

$Обозначим (4 – 3x – 4z) : 13 = t1. (3)

Из (2) следует, что t1 может принимать только целые значения. Из (3) имеем 13t1 + 3x + 4z = 4. (4)

Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (1) коэффициентами. Применим к (4) те же соображения:

x = (4 – 13t1 – 4z) : 3 = (1 – 4t1z) + (1 – t1z) : 3;

$(1 – t1 z) : 3 = t2, t2 — целое, 3t2 + t1 + z = 1. (5)

В (5) коэффициент при z — неизвестном исходного уравнения равен 1 — это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z, x, y через t1 и t2.

z = –t13t$2$ + 1,

x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 – 1$ + t2 = –3t1 + 4t2,

y = 1 + 6t1$8t2 + 4t1 + 12t2 $– 4 + t1 = 11t1 + 4t2 – 3.

$ Итак, x = –3t1 + 4t2$,

y = 11t1 + 4t2 – 3,

$ z = –t13t2 + 1.

t1, t2 — любые целые числа, определяющие все целые решения уравнения исходного уравнения.

Можно предложить учащимся найти частные решения данного уравнения и проверить их.

Например, пусть t1 = 1, t2 = 2. Имеем х = 5, у = 16, z = –6.

Подставим найденные решения в уравнение 29х + 13у + 56z$ = 17, получим 145 + 208 – 336 = 17;

353 – 336 = 17;

17 = 17.

В домашнее задание можно включить практические задания из Приложения 1 (или решенные ранее другими способами), в процессе решения которых будет усваиваться метод рассеивания (метод спуска). Целесообразно предложить учащимся составить задачу, сводимую к диофант$ову уравнению, и решить ее одним из изученных способов.

Также для подготовки к практическому занятию № 8, которое является занятием обобщения и систематизации изученного материала, учащимся необходимо повторить:

понятие диофантова уравнения, линейного диофантова уравнения
с двумя переменными, условия существования целых решений уравнения;

методы решения уравнения: способ перебора вариантов, с использованием алгоритма Евклида, с использованием цепной дроби.

Для повторения полезно использовать опорные конспекты лекционных занятий и конспекты практических занятий.$

Занятия 9 — 10. Решение диофан$товых уравнений разными способами


Данное практическое занятие является обобщающим занятием. Перед решением задачи необходимо повторить теоретический материал, опираясь на вопросы домашнего задания занятия № 7. Целесообразно суть выбранного способа решения задачи повторить непосредственно перед его применением к решению поставленной задачи. В целях самоконтроля за выполнением задания учащимся предлагается решить одну задачу разными способами и сравнить полученные ответы, поэтому условно данное занятие можно назвать «уроком одной задачи. Форма работы с учащимися — фронтальная. Но учащимся, которые достаточно хорошо усвоили материал, можно предложить нестандартные задания № 17, 23 из списка задач (Приложение 1).

Домашнее задание. Из Приложения 1 для домашней работы можно указать задания № 21, 22, а также предложить и задачи учеников, которые не были решены на занятии.

Учащимся необходимо напомнить, что следующее занятие — семинарское, назвать тех, кто будет на нем выступать, назначить день «последней» контрольной проверки выполненных учащимися индивидуальных и групповых заданий к семи$нару.

В целях эффективной работы на семинарском занятии, необходимо заранее подготовить с$оответствующее оборудование для демонстрации выполненных учащимися материалов с использованием информационных технологий, проверить совместимость электронных носителей учащихся с записанными презентациями выступлений и компьютера в классе и т. п.

Занятия 11—12. Решение задач с использованием различных диофантовых уравнений или их систем

Данные занятия относятся к категории практических.

Основная цель: рассмотреть вместе с учащимися задачи повышенной трудности на составление диофантовых ур$авнений или их систем, продемонстрировать различные способы их решения, в том числе и нестандартные.

Мы приведем решение некоторых задач из Приложения 1, которые можно разобрать как на занятии, так и предложить для самостоятельной работы учащимся.

Задача № 24. Решите в натуральных числах x24xy5y2 = 1 996.

Решение.

Перепишем уравнение в виде

(x2 4ху + 4y2)9y2 = 1 996, (х – 2у)2 9y2 = 1 996.

$ Разложим левую часть на множители (x5y)(x + у) = 1 996.$

Разложим число 1996 на целые множители:

1 996 = 1 · 1 996 = 2 · 998 = 4 · 499 = –1 · (–1 996) = –2 · (–998) = –4 · (–499).

Так как x N, y N, то (x + у) N, причем ($x + у) > 1.

Если (x + у)$ N и (x + у)(x5у) = 1 996, то (x5у) N. $

Тогда решение получившегося уравнения сводится к решению следующих систем:

1)

$ решений в натуральных числах нет

2) или

системы решений в натуральных числах не имеют

3) или

(832; 166) решения в натуральных числах нет.

Ответ. x = 832, у = 166.

Задача № 25. Докажите, что система уравнений

не имеет решений в целых числах.

Решение.

$Предположим, что система разрешима. Из второго уравнения z2 =2у2 + $1, то есть z2 нечетное число и z — нечетное, значит z = 2m + 1, m $Z.

Тогда y2$ = 2m2 + 2m, значит, y2 четное число и у — четное, y = 2n, n$ Z.

Из первого уравнения: x2$ = 8n3 + 7, т. е. x2нечетное число и xнечетное число, х = 2k + 1, k$ Z.

Подставим значения x и y в первое уравнение, получим

2(k2+ k2n3) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2, а правая нет.

Значит, наше предположение неверно, т. е. система не имеет решений в целых числах.

$Задача № 26 (из «Арифметики» Диофанта)

Для числа 13 = 22 + 32 найти два других, сумма квадратов которых равна 13.

Решение.

Приведем решение самого Диофанта. Он полагает первое число (обозначим его через А) равным х + 2, а второе число B равным 2х – 3, указывая, что коэффициент перед x можно взять и другой.

$ Решая уравнение (x + 2)2 + (2х – 3)2 = 13, Диофант находит x = 1,6, откуда А = 3,6, В = 0,2.

Воспользуемся указанием Диофанта и возьмем произвольный коэффициент перед x в выражении для В. Пусть снова А = x + 2, а В = kx3, тогда из уравнения (x + 2)2 + (kx3)2 =13 получаем х = 2(3k2) : (k2 + 1). Отсюда, A = 2(k2 + 3k1) : (k$2 + 1), B = (3k2 4k3) : (k2 + 1).

Теперь становятся понятными рассуждения Диофанта. Он вводит очень удобную подстановку A = х + 2, В = 2х – 3, которая с учетом условия 22 + 32 = 13 позволяет понизить степень квадратного уравнения. Можно было бы с тем же успехом в качестве B взять (2х + 3) или еще проще
(x ± 3), но тогда получаю$тся отрицательные значения для B, чего Диофант не допускал. Очевидно k = 2 — наименьшее натуральное число, при котором A и B положительны. И хотя Диофант приводит решение задачи в конкретных числах, чувствуется, что он владеет общим методом.

Задача № 27 (из древнего китайского сборника)

Найти число, которое при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 5 — остаток 3, а при делении на 7 — остаток 2.

Решение.

Рассмотрим решение этой $задачи китайским математиком Сунь-цзы (III или IV век): «При делении на 3 остаток есть 2. Поэтому возьмем 140. При делении на 5 остаток есть 3, поэтому возьмем 63. При делении на 7 остаток есть 2, поэтому возьмем 30. Сложив их вместе, получим 233. Из этого вычтем 210 и получим ответ».

$ Разберем решение Сунь-цзы. Сначала он подбирает число 140, кратное 5 и 7, которое при делении на 3 дает остаток 2. Конечно, это не наименьшее натуральное число с такими свойствами: можно было бы взять число 35. Но это не столь важно для решения задачи. Затем берется число 63, кратное 3 и 7, дающее при делении на 5 остаток 3. Аналогично находится число 30. Очевидно, для числа 233 = 140 + 63 + 30 выполняются все условия задачи, а потому они выполняются для числа вида n = 1 05l + 233. В свою очередь 233 = 2 · 105 + 23, поэтому все натуральные решения можно записать формулой n = 105k + 23, где k = 0, 1, …

При k = 0 из нее получаем наименьшее натуральное решение, равное 23.

Задача № 28 (из «Арифметики» Диофанта)

Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа.

$ Решение.

Рассмотрим решение самого Диофанта. Обозначим первое число в виде произведения x на куб некоторого числа, например на 23 = 8, то есть первое число будет 8x. Положим второе число равным$ x2 – 1. Ясно, что одно из условий задачи будет выполнено: произведение искомых чисел, сложенное с первым, равняется кубу некоторого числа. В самом деле, проверяя это, получим:

8х · (x2 – 1) + 8х = 8x3.

Далее надо, чтобы выполнялось и другое условие, то есть, чтобы произведение искомых чисел, сл$оженное со вторым, равнялось также кубу некоторого числа. Для этого требуется, чтобы 8x·(x2 – 1) + x2 – 1 было кубом некоторого числа. Полагая, что куб этого числа равняется (2х – 1)3, мы получим уравнение, из которого можно найти x:

8х · (x2 – 1) + x2 – 1 = (2x – 1)3,

$ откуда:

x = 14/13, следовательно, первое число будет: 8 · 14/13 = 112/13, а второе число будет равно: (14/13)2 – 1= 196/169 – 1= 27/169. Проверьте, удовлетворяют ли найденные числа условию задачи.

Задача № 29. «После кораблекрушения»

Пять моряков высадились на остров и к вечеру собрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, пересчитал добычу, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего вновь лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях своих предшественников. Наутро они$ поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Сколько орехов собрали моряки?

Решение.

Обозначим искомое число орехов через х. Выражая последовательные действия моряков уравнениями, получаем x = 5а + 1; 4а = 5b + 1; 4b = 5$c + 1;

4c = 5d + 1; 4d = 25y + 1 (обдумайте смысл предлагаемых уравнений).

Эта система сводится к одному неопределенному уравнению

256х = 2 101 + 15 625у.

Быстрое решение в целых числах этого громоздкого уравнения будет приятной наградой за терпеливое ознакомление с предложенными четырьмя способами — можно выбрать из них наиболее эффе$ктивный для данной задачи. Ответ в этой задаче таков: x = 3 121 — наименьшее из возможных натуральных значений х.

Замечание. В книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения», в которой есть эта задача, написано, что она «принадлежит к числу наиболее часто решаемых, но наименее поддающихся решению, диофантовых головоломок». Когда эта задача в 1926 году появилась в одной газете (без решения и ответа), то 20 лет после этого не прекращался поток писем в газету либо с просьбой сообщить ответ, либо с вариантами собственных решений.

Заключение

Введение элективного курса «Десятая проблема Гильберта или уравнения Диофанта» необходимо учащимся как при подготовке к ГИА, ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение различными приемами решения уравнений можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня мате$матического и логического мышления.

Решение задач и уравнений открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задания играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с помощью уравнений, успешно справляются и с другими задачами.

Приложение 1

Задачи

1. Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решениями уравнения:

$ а) x + у = 11; б) 3х + 5у = 17.

2. Учащиеся 9 класса выполняли тест, содержащий задания по алгебре и геометрии. За каждый верный ответ на алгебраический вопрос выставлялось 3 балла, а на геометрический — 4 балла. Ученик верно ответил на все вопросы теста и получил 100 баллов. Сколько в тесте было заданий по алгебре и сколько по геометрии?

3. Ученики начальной школы на уроке математики выкладывают из палочек пятиугольники и шестиугольники. Всего в наборе 100 палочек. Сколько пятиугольников и сколько шестиугольников мож$но выложить, чтобы использованными оказались все палочки?

4. На неделю учащимся 9 класса было предложено для решения два списка задач: по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решенную задачу по алгебре выставлялось 4 балла, а по геометрии — 5 баллов. Николай за выполненную им работу получил 80 баллов. Сколько задач по алгебре и сколько по геометрии решил Николай, если известно, что в каждом списке было 15 задач?

5.Из двух рублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 р. Сколько среди этих монет двухрублевых?

6. Решить уравнение на множестве целых чисел:

а) 7х + 11у = 69; в) 5х + 29у = 39;

$б) 3х + 17у = 143; г) 7х + 31у = 90.

7. Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод длиной $150 м. Имеются трубы 13 м и 9 м длиной. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода?

8. Туристическое бюро организует поездки на автомашинах двух типов: 23-местных автобусах и 6-местных автомобилях. Группа туристов состоит из 310 человек. Сколько машин того и другого типа следует выделить, чтобы не осталось свободных мест в салоне?

9. Транспортные организации имеют в наличие машины вместимостью 3,5 т и 4,5 т. Следует перевезти груз весом 53 т. Сколько машин нужно взять для одного рейса?

10. На 6 200 р. Школой было закуплено некоторое количество шахмат
и шашек, стоимостью соответственно 460 и 190 р. Сколько комплектов шахмат и шашек можно купить, чтобы рационально использовать эти деньги?

11. Школа получила 1 млн руб. на приобретение 100 единиц учебного оборудования (на всю сумму без остатка). Администрации школы предложили, оборудование стоимостью 3 000, 8 000 и 12 000 р. За единицу. Сколькими способами школа может закупить это оборудование? Укажите один из способов.

$ 12. Представьте дробь в виде цепной дроби:

$а) 7/11; б) 3/8; в) 9/5; г) 17/3.

13. Несколько лет назад были входу монеты по 3 и 5 к. Сколькими способами можно набрать ими сумму в 10 р.?

14. Надо разлить 15 л жидкости в бутыли емкостью в 0,5 и 0,8 л так, чтобы все использованные бутыли были полными. Сколько потребуется бутылей той и другой емкости?

15. Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причем петух стоит 5 монет, курица — 4, а 4 цыпленка — одну монету?

16. Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было$ в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?

17. «Продажа кур» (старинная задача).

Три сестры пошли на рынок с курами. Одна принесла для продажи
10 кур, другая — 16, третья — 26. До полудня они продали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продаж$и 35 р. По какой цене они продавали кур до и после полудня?

18. Решить способом измельчения в целых числах уравнение:

19. а) 5х + 8у = 39; б) 7х + 11у = 43.

20. Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17.

21. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1 001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои, если x ночей она будет рассказывать по

3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей?

22. Найти целые решения уравнения 10х + 21у = 23 каждым из изученных способов.$

23. Найти двузначное число, у которого увосьмеренное число единиц на 13 меньше утроенного числа десятков.

24. Некоторое число экскурсантов, разместившихся поровну в 5 автобусах (каждый автобус вмещает не более 54 человек), были доставлены на вокзал. Там к ним присоединились еще 7 человек, и все экскурсанты распределились поровну в 14 вагонах. Сколько всего было экскурсантов?$

25. Решите в натуральных числах x² – 4ху – 5y² = 1 996.

Литература

  1. Бабинская, И. Л. Задачи математических олимпиад [Текст] / И. Л. Бабинская. — М. : Просвещение, 1975.

  2. Башмакова, И. Г. Диофант и диофантовы уравнения [Текст] / И. Г. Башмакова. — М. : Наука, 1972.

  3. Белл, Э. Т. Творцы математики: Предшественники современной математики [Текст] : пособие для учителей / Э. Т. Белл ; пер. с англ. В. Н. Тростникова, С. Н. Киро, Н. С. Киро / под ред. и с доп. С. Н. Киро. — М. : Просвещение, 1979.

  4. Варпаховский, Ф. П. О $решении десятой проблемы Гильберта [Текст] / Ф. П. Варпаховский, А. Н. Колмогоров // Квант. — 1970. — № 7.

  5. Груденов, Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики [Текст] / Я. И. Груденов. — М. : Просвещение, 1990.

  6. Дорофеев, Г. В. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс [Текст] : учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович [и др.] ; под ред. Г. В. Дорофеева. — М. : Дрофа, 2001.

  7. $Кордемский, Б. А. Этому виду задач более 1 600 лет [Текст] / Б. А. Кордемский // Квант. — 1973. — № 4. — С. 38—41.

  8. Крафт, Х. Алгебраические кривые и диофантовы уравнения [Текст] / Х. Крафт // Живые числа : сб. ст. ; пер. с нем. — М. : Мир, 1986.

  9. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра [Текст] / Я. И. Перельман. — М. : Наука, 1976.

  10. Фоминых, Ю. Ф. Диофантовы уравнения [Текст] / Ю. Ф. Фоминых // Математика в школе. — 1996. — № 6.

  11. $Чередов, М. М. Формы учебной работы в средней школе / М. М. Чередов. — М. : Просвещение, 1988.

10

Скачать оригинальный файл

(function(w, d, n, s, t) {
w[n] = w[n] || [];
w[n].push(function() {
Ya.Context.AdvManager.render({
blockId: «R-A-187659-4»,
renderTo: «yandex_rtb_R-A-187659-4»,
async: true
});
});
t = d.getElementsByTagName(«script»)[0];
s = d.createElement(«script»);
s.type = «text/javascript»;
s.src = «//an.yandex.ru/system/context.js»;
s.async = true;
t.parentNode.insertBefore(s, t);
})(this, this.document, «yandexContextAsyncCallbacks»);

.globuss24_show_bottom { width: 300px; height: 100px; }
@media(min-width: 600px) { .globuss24_show_bottom { width: $580px; height: 400px; } }

(a$dsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Репетиторы по Алгебре
Кристина Игоревна

от 1 000 руб./час

Студент, стаж 3 года

0

$

Михаил Николаевич

от 400 руб./час

Частный преподаватель, стаж 17 лет

0

Наталья Юрьевна

от 600 руб./час

Частный преподаватель, стаж 11 лет

$

0

Добавить комментарий

You must have JavaScript enabled to use this form.


$

$

$

О текстовых форматах

Еще записи

Leave a Comment