Решение логарифмических уравнений, 10-11 класс

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного образования детей дом детского творчества

г.Зверева Ростовской области.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя образовательная школа №1

г.Зверева Ростовской области.

«Решение логарифмических уравнений»

Работа педагога дополните$льного

образования МБОУ ДОД ДДТ,

учителя математики МБОУ СОШ №1

Куца Фёдора Ивановича

г. Зверево

2013г

Содержание работы:

1) Уравнения вида log a x = b.

2) Уравнения вида log a f (x) = b.

3) Уравнения вида log a f (x) = g(x).

4) Уравнения вида log a f (x) = log a g $(x).

5) Уравнения вида log a(x) f(x) = log a(x) g(x).

6) Уравнения вида log a (log b f (x)) = c.

7) Замена переменной.

8) Приведение к одному основанию.

9) Уравнения с неизвестным в основании логарифма

10) Уравнения вида log a f (x)∙log b g(x) = 0.

11) Разложение на множители левой части уравнения.

12) Использование формулы перехода к новому основанию.

13) Использование формулы$ log a b + log a c = log a (bc).

14) Использование формулы log a blog a c = log a (b/c)

15)Уравнения вида A∙( log a f (x))2 + B∙ log a f (x) + C = 0 .

16) Показательно — логарифмические уравнения.

17) Использование однородности.

18) Уравнения вида = g(x).

19) Уравнения вида = b.

20) Уравнения вида = g(x).

21) Использование формул log a (b/c) = log a |b| — log a |c|, log a(b∙c) = log $a |b| + log a |c|.

22) Использование формулы log f(x) (g(x))n = nlog f(x) |g(x)| (При четном n).

23) Рационально – логарифмические уравнения

24) Иррационально – логарифмические уравнения

25) Уравнения, содержащие модуль.

26) Комбинированные уравнения.

27) Оценочная «граничная» задача.

28) Использование монотонности функций.

1) Уравнения вида log a x = b.

Уравнение вида log a x = b при всех допустимых a имеют единственное решение x = a b.

Пример. log 3 x= 4.

= 34,

х = 81.

Ответ. х = 81.

2) Уравнения вида log a f (x) = b.

Уравнение вида log a f(x)= b равносильно уравнению f(x) = a b.

Пример.log 2 (5 – x) = 3.

5 – х = 23,

х = — 3.

Ответ. х = — 3.

3) Уравнения вида log a f (x) = g(x).

Уравнение вида log a f (x) = g(x) равносильно уравнению f (x) = a g(x).

Пример. lg (2x + x + 4) = xx lg5.

2x + x + 4 =10 x x lg5 ,

2x + $x + 4 = ,

2x + x + 4 = ,

2x + x + 4 =,

2x + x + 4 = 2x,

x = — 4.

Ответ. х = — 4.

4) Уравнения вида log a f (x) = log a g (x).

1способ решения. Уравнение вида log a f (x) = log a g (x) равносильно системе:

Причем любую из двух последних строк можно (и, как правило, нужно) опустить.

Пример. log2 (x2 + x — 2) = log22x.

x = 2.

Ответ. x = 2.

2способ решения. Решив уравнение f(x) =g(x), сделать проверку найденных корней для исходного уравнения.

Пример. log2(5x + 3)= log2(7x + 5).

5x + 3 = 7x + 5,

$ 2x = 2, x = — 1.

Проверка. x = -1.

Число x = -1 не является корнем исходного уравнения, так как при x = -1 левая и правая части уравнения теряют смысл.

Ответ. Корней нет.

5) Уравнения вида log a(x) f(x) = log a(x) g(x).

Уравнение вида log a(x) f(x) = log a(x) g(x)

равносильно системе:или

$

Пример. log 4 — x (x2 + 1) = log 4 — x (3x + 1).

x = 0.

Ответ. x1 = 0.

6) Уравнения вида log a (log b f (x)) = c.

При решении уравнений вида log a (log b f (x)) = c вначале потенцируют по внешнему логарифму, затем по внутреннему.

Пример. log(log3x) = 4.

log2(log3x) = 2 или log 2(log3x) = — 2.

1) log2(log3x) = 2; log3x = 4; x = 81.

2) log2(log3x) = — 2; log3x = ; x = .

Ответ. x1 = 81, x2 = .

7) Замена переменной.

Пример. lg2 + lg x = 7.

(lg 10 – lg x)2 + lg x = 7,

(1 – lg x)2 + lg x = 7.

Пусть lg x = у, тогда (1 – у)2 + у = 7,

1- 2у + у2 + у – 7 = 0,

у2 – у – 6 = 0,

у1 = 3, у2 = — 2.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) lg x = 3, x = 103, x1 = 1000.

2) lg x = -2, x = 10-2, x2 = 0,01.

$

Ответ. x1 = 1000, x2 = 0,01.

8) Приведение к одному основанию.

Пример. = 2 — 2.

= ,

Решим уравнение 18x2 + 18x – 1= 0.

х1,2 = , х1,2 = , х1,2 = , х1,2 = , х1,2 = ,

Условию удовлетворяет х = .

Ответ. х = .

9) Уравнения с неизвестным в основании логарифма.

Пример 1.log x 5 = 3.

x =

Ответ. $x =

Пример 2. = 0,5.

0 x x > 1.

Ответ. 0 x x > 1.

Пример 3. log(-x) 25 = — 2.

x = — .

Ответ. x = — .

Пример 4. + = 2.

ОДЗ уравнения:

+ = 2, + = 2,x2 = 48, x1,2= ± 4.

x= — 4 не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ. x= 4.

10) Уравнения вида log a f (x)∙log b g(x) = 0.

Уравнения вида log a f(x)∙ $log b g(x) = 0 равносильно системе:

Пример. log2xlog7(3 – x) = 0.

x1 = 1, x2 = 2.

Ответ. x1 = 1, x2 = 2.

11) Разложение на множители левой части уравнения.

Пример. log4 (2x – 1)∙log4x = 2 log4(2x – 1).

log4 (2x – 1) ∙ log4x — 2 log 4(2x – 1) = 0,

log4 (2x – 1) ∙ (log 4 x – 2) = 0,

log4 (2x – 1) = 0 или log4 x – 2 = 0.

1) log 4 ( 2x – 1) = 0, 2x – 1 = 1, x1 = 1.

$

2) log 4 x – 2 = 0, log4x = 2, x2 = 16.

Проверка показывает, что оба значения x являются корнями исходного уравнения.

Ответ. x1 = 1, x2 = 16.

12) Использование формулы перехода к новому основанию.

Пример.log3 x + log x 3 = .

Уравнение имеет смысл при x > 0, x 1.(1)

Воспользовавшись формулой log x 3 = , имеем: log3x + = .

Введем замену log3x = t, t

t + = , 2t2 – 5t + 2 = 0. t1 = 2,t2 = .

1) Если t1 = 2, то log3x = 2, x1 = 9.

2) Если t1 = , то log3x = , x2 = .

Найденные значения x удовлетворяют условиям (1) и являются корнями данного уравнения.

Ответ. x1$ = 9, x2 = .

13) Использование формулы log a b + log a c = log a (bc).

Пример.log 2 (1 – x)= 3 – log 2 (3 – x).

log2 (1 – x)+ log 2 (3 – x) = 3,

log2((1 – x) (3 – x)) = 3,

(1 — x)(3 — x) = 8,

x2 — 4x — 5 = 0.

x1 = — 1, x2 = 5.

Проверка.

x1 = — 1.

Левая часть уравнения log 2 (1 – x)= log 2 (1 — (-1)) = log 22 = 1.

Правая часть уравнения 3 — log 2 (3 – x) = 3 — $log 2 (3 – (-1)) =3 – log 2 4 = 3 – 2 = 1.

1 = 1 верно, x1 = — 1 корень исходного уравнения.

x2 = 5.

Число x2 = 5 не является корнем исходного уравнения, так как при x = 5 левая и правая части уравнения теряют смысл.

Ответ. x = — 1.

14) Использование формулы log a blog a c = log a (b/c)

Пример. lg (x — 1) – lg (2x – 11) = lg 2.

lg = lg 2,

= 2,

x – 1 = 2∙ (2x -11),

3x = 21, x = 7.

Проверка$. x = 7.

lg (x — 1) – lg (2x – 11) = lg (7 — 1) – lg (2∙7 – 11) = lg 6 – lg 3 = lg = lg 2.

lg 2 = lg 2 верно, x = 7 корень данного уравнения.

Ответ. x = 7.

15)Уравнения вида A∙( log a f (x))2 + B∙ log a f (x) + C = 0 .

(f (x) > 0, а > 0,а ≠ 1) путем замены log a f$ (x) = t сводится к квадратному уравнению.

Пример. + = 5.

ОДЗ уравнения х > 0.

2 + = 5,

2 + $= 5,

2∙ — 2 + — 4∙ + 4 — 5 = 0,

— 2∙ — 3 = 0.

Обозначив = t, получим квадратное уравнение: t2 — 2$t — 3 = 0, корни которого

t1 = — 1, t2 = 3

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

= -1, х1 = 3.

2) = 3, х$2 = . Оба значения входят в ОДЗ.

Ответ. х1 = 3 , х2 = .

16) Показательно — логарифмические уравнения.

Если в уравнении содержится выражение вида , то для нахождения корней уравнения необходимо сначала прологарифмировать обе его части по тому же основанию, что и основание логарифма, стоящего в показателе степени, а затем решить получаемое алгебраическое уравнение относительно log a x$.

$Пример. = 4.

ОДЗ уравнения: x > 0, x ≠ 1.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

= log 2 4, (log 2 x — 1) ∙ log 2 x = 2, (log 2 x)2 — log 2 x — 2 = 0.

$

Пусть log 2 x = t , тогда t2 — t — 2 = 0, откуда$ t = 2, t = -1,

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) log 2 x = 2, x1 = 4.

2) log 2 x = — 1, x2 =. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

$Ответ. x1 = 4, x2 =.

17) Использование однородности.

Уравнения вида aA2(х)+ bA(х)B(х) + cB2(х) = 0 называются однородными

Способ решения однородных уравнений:

деление обеих частей уравнения на A2(х), A(х)B(х) или B2(х) и введение замены.

Пример. lg2($x + 1) = lg(x + 1) lg(x — 1) + 2 lg2(x — 1).

ОДЗ x > 1,

lg2(x + 1) — lg(x + 1) lg(x — 1) — 2 lg2(x — 1) = 0,

Разделим на lg2(x — 1) 0.

— 2 = 0, — 2 = 0.

Пусть у = , тогда у2 – у – 2 = 0, откуда у1 = 2, у2 = -1.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) = 2, lg(x + 1) = 2 lg(x — 1), lg(x + 1) = $lg(x — 1)2, х + 1 = (х – 1)2,

х + 1 = x2— 2х + 1 , x2— 3х = 0, (x – 3)х = 0. x$1 = 3, x2 = 0.

x2 = 0 не удовлетворяет ОДЗ.

2) = -1, lg(x + 1) = — lg(x — 1), lg(x + 1) = lg, x + 1 = , x2 – 1= 1, x2= 2.

x1,2 =

x2 = не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ. x1 = 3, x2 = .

18) Уравнения вида = g(x).

Уравнение вида = g(x) равносильно системе:

Пример. = 4x.

Ответ. x = 1.

19) Уравнения вида = b.

Уравнения вида = b равносильно уравнению = , где b = am;

Откуда log c f(x) = m.

Пример. 23lgx∙5lgx = 1600.

8lgx∙5lgx = 1600, 40lgx$ = 1600, 40lgx = 402, lg x = 2, x = 100.

Ответ. x = 100.

20) Уравнения вида = g(x).

Уравнение вида = g(x) равносильно системе:

Пример. = 2x.

Ответ. x = 3.

$ 21) Использование формул log a (b/c) = log a |b| — log a |c|, log a(b∙c) = log a |b| + log a |c|.

Пример. = + 1.

.

Ответ. x = -2.

22) Использование формулы log f(x) (g(x))n = nlog$ f(x) |g(x)| (При четном n).

Пример. lg4(x — 1)2 + lg2(1 — x)3 = 25.

24lg4|x — 1| + 32lg2(1 — x)= 25.

Область определения функции lg2(1 — x) «диктует» выполнение неравенства 1 – x > 0. Поэтому |x — 1| = 1 – x.

В полученном уравнении 16∙ lg4(1 — x) + 9∙ lg2(1 — x) — 25 = 0 сделаем замену переменной:

у = lg2(1 — x), у ≥ 0.
у = 1.

Следовательно, lg2(1 — x) = 1. Откуда:

1) lg(1 — x) = 1, lg(1 — x) = lg10, 1 – x = 10, x1 = — 9.

2) lg(1 — x) = — 1, lg(1 — x) = lg0,1, 1 – x = 0,1, x2 = 0,9.
Ответ. x1 = — 9, x2 = 0,9.

23) Рационально – логарифмические уравнения.

Пример. + = 1.

Сделав замену lg x = у, получаем + = 1.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (4 + у)(2 – у) ≠ 0.

2 – у + 8 + 2у = 8 – 2у – у2, у2 + 3у + 2 = 0. у1 = -1, у2 = — 2.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) $lg x = -1, х = 0,1.

2) lg x = -2, х = 0,01. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ. х1 = 0,1, х2 = 0,01.

24) Иррационально – логарифмические уравнения$.

Пример 1.= log2(2x).

ОДЗ x > 0.

= log22 + log2x, = 1 + log2x.

Сделав замену переменной log2x = у, получаем = 1 + у. (*)

Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем: 2у2 + 3у – 5 = 1 + 2у + у2,

у 2+ у – 6 = 0. у1 = — 3, у2 = 2.

Проверим иррациональное уравнение (*) .

1) При у1 = — 3 правая часть уравнения отрицательна, следовательно у1 = — 3 посторонний корень.

2) у2 = 2.

Левая часть = = = 3.

Правая часть 1 + у = 1 + 2 = 3.

3 = 3 верно, у = 2 корень уравнения (*).

Возвращаясь к переменной х, имеем: log2x = 2, х = 4.

Ответ . х = 4.

Пример 2. + = 4lg x – 5.

Так как квадратный корень всегда неотрицателен, то левая часть уравнения неотрицательна при любых x, и, следовательно, правая часть 4lg x – 5 ≥ 0.

Тогда = | 5 — 4lg x | = 4lg x – 5,т.е. исходное уравнение равносильно системе:

Решением последней системы являются x, удовлетворяющие уравнению lg x = 4,

т.е. x = 104, x = 10000.

Ответ. x = 10000.

$ 25) Уравнения, содержащие модуль.

Пример 1. = .

1) При 0x — 1| = , поскольку x

Уравнение равносильно системе:

.

2) При x ≥ 1: — 1| = — 1, поскольку ≥ 1 при x ≥1.

Уравнение равносильно системе:

x1 = 4 , x2 = 1.

Ответ. Корнями уравнения являются числа из промежутка и x = 4.

Пример 2. 3+ |2 – log 5x| = |1 + log 5x |.

Сделаем замену t = log5 x и решим уравнение: 3 + |2 — t|= |1 + t|.

Критические точки t = 2, t = — 1.

При t t = — (1 + t), откуда 5 – t = — t – 1, 0∙t = — 6 нет корней.

При — 1 ≤ t t = 1 + t , откуда 5 – t = t + 1, -2t = — 4, t = 2- не у$довлетворяет условию — 1 ≤ t

При t ≥ 2: 3 + t – 2 = 1 + t , откуда t +1 = t + 1, 0∙t = 0. Следовательно, t ≥ 2.

Итак, log 5x ≥ 2, log 5xlog 5 25, так как 5 > 1, то x ≥ 25.

Ответ. ≥ 25.

Пример3. = 2.

ОДЗ: x ≠3.

Заметив, что x2 – 6x + 14 = (x2 – 6x +9) + 5 = (x – 3)2 + 5 = | x – 3|2 + 5, сделаем замену переменной t = | x – 3|.

= 2; = ; t2 + 5 = ( t + 1)2; t2 + 5 = t2 + 2t + 1;

2t = 4; t = 2.

Возвращаясь к переменной $x, имеем: | x – 3| = 2, откуда x3 = 2 или x3 = — 2,

т.е. x1= 5, x2 = 1.

Проверка показывает, что оба значения x являются корнями исходного уравнения.

Ответ.х1 = 5, х2 = 1.

26) Комбинированные уравнения.

Пример 1. + 3∙ = 10.

Преобразуем выражение = = = .

Сделав теперь в исходном уравнении замену переменной t = , придем к системе: t = 2.

Итак, = 2.

Прологарифмируем это уравнение по основанию 2:

= log 22, (log 2 4x)2 = 1.

log 2 4x = 1 или log 2 4x = — 1.

1) log 2 4x = 1, 4x = 2, x1= .

2) log 2 4x = -1, 4x = , x2= .

Ответ. = , = .

Пример 2. = .

ОДЗ: x x > 4.

В соответствии со свойствами лога$рифмов = исходное уравнение преобразуется в показательное: = , откуда

= , log 3 5= 4( log 3 15 — log 3 (x2 – 4x)) ,

log 3 5= 2log 3 15 — log 3 (x2 – 4x), log 3 (x2 – 4x) = log 3(225/5)

x2 – 4x = 45. x1= 9 или x2 = — 5.

Ответ. = 9, = -5.

Пример 3. log cos x sin x + log sin x cos x = 2.

ОДЗ: 2n x + 2n, n Z.(*)

Пусть log cos x sin x = у, тогда log sin x cos x = .

у + $ = 2; = 0; у = 1.

log cos x sin x = 1; log cos x sin x = log cos x cos x; sin x = cos x; tg x = 1; x = + n, n Z.

Учитывая ограничения (*), имеем: x = + n, nZ.

Ответ. x = + n, nZ.

27) Оценочная «граничная» задача.

$Производится оценка множеств значений правой и левой частей уравнения. Если правая часть ограничена снизу, а левая часть ограничена сверху, то равенство возможно только в общей точке.

Пример. = log2x + log x2.

Так как log2x + log x2 = log2x + , то при всех x > 0, x$ ≠ 1 выполняется неравенство |log2x$ + log x2| ≥ 2.

С другой стороны, — x2 + 4x – 3 = — x2 + 4x – 4 +1= — (x – 2)2 + 1 ≤ 1 при любом x,откуда следует, что ≤ 21 = 2.

Поэтому равенство левой и правой частей исходного уравнения возможно лишь в случае $

Решим второе уравнение:

= 2, — x2 + 4x – 3 = 1, — (x – 2)2 + 1 = 1, — (x – 2)2 = 0, x = 2.

Подставим найденное значение x = 2 в первое уравнение системы:

log22 + log 22 = 1 + 1 = 2. 2 = 2 – верно.

x = 2 – корень исходного уравнения.

Ответ. x = 2.

$28) Использование монотонности функций.

Пример. log7(x + 8) = — x.

По определению логарифма имеем: x + 8 = 7x; $x + 8 = (*).

Функция у = x + 8 – возрастающая, функция у =— убывающая, следовательно, по теореме о встречной монотонности уравнение (*) имеет не более одного корня.

Подбором находим, что это x = — 1.

Ответ. x = -1.

Литература:

1) Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом / А.А.Черняк, Ж.А.Черняк.- Волгоград: Учитель,2012.

2) Методы решения задач по математике: Пособие для поступающих в НПИ. Ч1 / Ред. журн. «

Изв. вузов. Электромеханика». Новочеркасск,1993

3) Алгебра и начала математического анализа, 10-11 класс, В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся

общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович, – 12-е изд., доп.-– М. :

Мнемозина, 2011.

4) Алгебра и начала математического анализа, 10-11 класс, Учебник для учащихся

общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва

и др.- 16-е изд.,перераб. — М.:Просвещение,2010

5)Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов /Ю.С.Рого$зина, И.М.Башняк, О.Л.Логвиненко, Новочеркасск: НГМА ,2003

Еще записи

Leave a Comment