Решение задач по механике с использованием тригонометрии, 10 класс

$ Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 34 города Томска

Конспект интегрированного урока по алгебре и физики в 10 классе

«Решение задач по механике с использованием тригонометрии»

Подготовили:

учитель математики

$Пихтовникова Светлана Александровна,

Учитель физики

Бурлаков Алексей Дмитрие$вич

Томск 2010

«Решение задач по механике с использованием тригонометрии»

Интегрированный урок для профильного физико-математического класса.

10 класс.

Пихтовникова Светлана Александровна,

учитель математики

высшей категории,

Бурлаков Алексей Дмитриевич,

$Учитель физики

МОУ СОШ № 34 города Томска


     Наука начинается тогда,
когда начинают считать.
Д.И.Менделеев
$

Слеп физик без математики.
М.В.Ломоносов

Рано или поздно всякая

правильная математическая идея

находит применение в том

или ином деле.

А.Н.Крылов

Цель урока:

$ Закрепление и актуализация, и интеграция знаний по физике и математики.

Задачи урока:

  1. Образовательные задачи:

    • Закрепи$ть знания обучающихся по теме: «Механика», тригонометрические формулы и решение тригонометрических уравнений;

    • Продолжить формирования навыков решения задач, формировать умение решать нестандартные задачи

    • Показ$ать на наглядном примере связь тригонометрии и механики.

  2. Развивающие задачи:

    • Развитие логического мышления, актуализировать имеющиеся знания в новой нестандартной ситуации

  3. Воспитание учащихся на уроке:

    • НОТ: обучение умению ставить цель, выделять существенное, главное, п$ланировать работу, осуществлять самоконтроль, подводить итоги, работать в оптимальном темпе, беречь время.

Тип урока: интегрированный урок – практикум.

Оборудование: мультимедийный проектор, ватман, чертежные инструменты, математическая энциклопедия, раздаточный материал.

План урока:

  1. Организационный момент. Вступительное слово учителя

  2. Устная разминка

  3. $ Работа по группам

  4. Защита работ

  5. Историческая справка

  6. $ Практическая работа

  7. Итог урока. Заключительное слово учителя.

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Слайды: 2,3,4

Начало тригонометрии 10 класса.

2. Устно:

1. Вспомним формулы (Слайд 5)

  • Уравнение скорости:

  • $ Перемещение при равноускоренном движении:

  • Тело брошено под углом к горизонту. Дальность полета, высота полета:

  • (дальность)

  • $(высота)

  • Формула для нахождения силы трения: (Слад 6)$

  • Закон сохранения импульса:

  • Закон сохранения механической энергии(без учета трения)

  • Найдите сторону х прямоугольного треугольника, изображенных на данных рисунках (Слайды7,8,9,10)

$

$ Выберите тригонометрическое уравнение, решения которого включают обе точки, отмеченные на единичной окружности. (Слайд 11)

Выберите тригонометрическое уравнение, решения которого включают обе точки, отмеченные на единичной окружности. (Слайд 12)

$

$

Выберите тригонометрическое уравнение, решения которого включают обе точки, отмеченные на единичной окружности. (Слайд 13)

$

3. Работа по группам.

Каждой группе выдаются ватманы, задания, фломастеры, математическая энциклопедия.

Свой отчет о работе учащиеся оформляют на листах ватмана

1 группа (Слайд 14)

1.Под каким углом нужно$ бросить мяч , чтобы он улетел как можно дальше?

2. в справочнике найдите, что означает тригонометрия

2 группа (Слайд 15)

1. Летящая пуля ударяет в шар висящий на$ невесомой, нерастяжимой нити, ударяет и застревает в нем. Длина нити 1 м, mпули =9г, mшара= 9 кг, угол на который отклоняется шар с пулей 100. Найти скорость летящей пули.

2. в справочнике найдите, что означает синус

$3 группа (Слайд 16)

1. Найдите коэффициент трения между шариковой ручкой и бумагой.

Оборудование: линейка.

Силой тяжести ручки можно пренебречь.

2. в справочнике найдите, что означает косинус

4 группа.

1. Решите уравнение:

$ 2. в справочнике найдите, что означает тангенс

$

5 группа.

1. Решите уравнение с параметром а:

2. в справочнике найдите, что означает котангенс

4. Отчет групп сопровождается показом рисунков на экране (слайды 14-17)

Задача 1.

$Под каким углом к горизонту нужно бросить мяч, чтобы он упал максимально далеко?

Y

_

А υ

$ _

υ0 _

g

$h

α

$

OX

l

Движение мяча можно описать в двухмерной системе координат, где движение вдоль оси ОХ – равномерное, а вдоль оси ОY – равноускоренное с ускорением g = 9,8м/с2, tп – время полета,

l υ0cos α • tп , дальность полета$ — максимальная высота полета

в точке А $

так как 2 sinα$ cosα = sin2α $l max когда sin 2α = 1 sin 2α = 1; 2α = 90; α = 45$, то есть мяч надо бросить под углом 45 к горизонту и дальность полета будет

$

Задача 2. (Слайд 15)

С какой скоростью υ1 должна лететь пуля, чтобы после абсолютно неупругого удара она отклонила шар, подвешенный на нити, на угол α? Масса пули m1 , масса шара m2, длина нити l ,угол отклонения α.

Закон сохранения импульса для пули и шара в проекциях m1 υ1= (m1 + m2)υ где υ – скорость пули и шара после удара,$ (1)

Закон сохранения энергии для пули и шара, отклонившихся на угол α после удара, где h – высота подъема пули и шара после удара

$h = ll cosα = l$ (1cosα) υ2=2gl(1cosα) $подставляя формулу (1) получаем, используя , получаем

$

Задача 3.(Слайд 16)

Найдите коэффициент трения между ручкой и бумагой (массой ручки пренебрегите). Укрепитесь в бумагу вертикально поставленной ручкой, а затем постепенно наклоняйте ее, продолжая нажимать на верхний конец. При некотором угле наклона α ручка начнет скользить по бумаге. Это произойдет в тот момент, когда горизонтальная составляющая силы F станет больше максимальной силы трения пок$оя между ручкой и бумагой.

В момент начала скольжения Fcosα = (mg + Fsinα) где m$ – масса ручки. = Fcosα /(mg + Fsinα)

Масса ручки невелика, сила F ограничена только возможностями экспериментатора и прочностью ручки, поэтому массой ручки можно пренебречь

$

5. Немного истории:

«Кто впервые придумал рассматривать изу­чаемое математическое понятие и зачем?».

Впервые тригонометрические соотношения вводятся в курсе геометрии следующим образом. Рас­сматривается прямоугольный треугольник (рис. 1), и на уровне определений утверждается: (Слайд18)

В первую очередь нас будут и$нтересовать вопро­сы: «Откуда появилась необходимость рассматри­вать представленные выше соотношения сторон прямоугольного треугольника?» и «Как появилась символика, используемая в определениях (*)?».

Ключ к отгадке надо искать в практической де­ятельности людей, причем речь идет о временах настолько далеких (может второе тысячелетие до н.э., а может и ранее), что никакими письменными свидетельствами, позволяющими дать однозначный ответ, мы не располагаем. Поэтому позволим себе высказать некоторые догадки.

$В древние времена строительство сооружений велось примерно таким образом и такими средст­вами, как и сегодня строят небольшие дома и под­собные помещения. При этом строители использу­ют нехитрые инструменты: веревку, отвес, колыш­ки и пр. Между прочим, в Древнем Египте сущест­вовали люди специальной профессии, которых на­зывали гарпедонапты, что значит, натягиватели веревки. С них начиналось любое строительство. А зачем нужна веревка строителям? Чтобы ровно в линию выкладывать кирпичи или камни.

Предложим учащимся вслушаться в слова «ли­ния» и «лен». Действительно, откроем этимоло­гический сло$варь:

Линия. Через посредство немецкого язы$ка заим­ствовано в начале XVIII в. из латыни. Лат. linea«нитка» — производное от linum«лен». Еще веревка нужна для того, чтобы получить прямой угол, например в целях строительства при­вычного нам четырехугольного дома. Ведь такой дом построить легче всего. А строительство домов иных форм и сейчас является трудной архитектур­ной задачей.

Учащиеся уже знают, что одним из важнейших изобретений человечества было изобретение ко­леса. А почему? Да потому, что в природе колеса нет. Колесо — это именно человеческое изобре­тение. Теперь другой вопрос: а есть ли в природе прямой угол? Примеры привести можно (ветка, растущая перпендикулярно стволу дерева; само дерево, растущее перпендикулярно к земле и т.п.), но вряд ли перечисленное годится дл$я того, чтобы создать шаблон прямого угла. Издавна строители научились получать прямой угол с помощью веревки. В Древнем Египте заме­тили, что если на веревке завязать узелки на рав­ном расстоянии друг от друга, и натянуть веревку так, чтобы, говоря современным языком, получал­ся треугольник со сторонами 3, 4, 5, то угол, ле­жащий против наибольшей стороны, окажется пря­мым. С тех пор треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетским.$

Треугольник с черными кружками, обозначаю­щими узлы, показан на рис. 2. Этот чертеж лучше всего поясняет суть дела. В вершинах треугольника мы видим древние египетские изображения жре­цов. У них в руках — инструменты, напоминающие измерители расстояний, какими пользуются и сей­час. В Древнем Египте измерения были священ­ным делом — уделом немногих образованных лю­дей — жрецов.

Историю с натягиванием веревки продолжают еще несколько древних терминов: катет — значит «отвес», гипотену$за — «натянутая», а другой катет прямоугольного треугольника не назывался кате­том (т.е. отвесом), о нем говорили как об основании (рис. 3). (Слайд 19)

По натянутой веревке (другими словами, по ги­потенузе) можно проводить стачивание боковой грани строящейся пирамиды.

Теперь мы подошли к главному вопросу: «Как объяснить строителям, по какому углу стачивать грань пирамиды?» (В Древнем Египте пирамиду выкладывали из грубых крупных камней, и надо было ее отшлифовать или иным образом подкор­ректировать.) Один из способов: задать отношение высоты пирамиды к апофеме, или, если говорить о плоскости, задать отношение катета-отвеса к ги­потенузе. Вот и получается прообраз косинуса угла стачивания (рис. 4). А когда задавались другие от­ношения — отношение катета-основания к катету-отвесу или отношение катета-основания к гипоте­нузе — это были прообразы понятий тангенса и синуса угла.

(Слайд 20)$

$В самом деле, задавать указанные отношения сторон прямоугольного треугольника очень удоб­но. Так, если на макете пирамиды (рис. 5, а) опре­делить отношение высоты пирамиды к ее апофеме как 2:3, то и для самой пирамиды (рис. 5, 6) это отношение сохранится, ведь большая пирамида есть подобие маленькой (макета пирамиды). (Слайд 21)

Теперь мы понимаем: рассматривать отношения длин строи прямоугольного треугольника очень удобно, так как для всех подобных прямоугольных треугольников эти отношения сохраняются (все правильно, как потом узнают учащиеся, у подоб­$ных треугольников углы равны, а, значит, равны и тригонометрические функции углов).

Судя по всему, на идею подобных фигур люди обратили внимание достаточно давно. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встре­чаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадра­тиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров (сво­его рода «палетка»).

В дальнейшем геометрические знания накапли­вались, а тригонометрические соотношения в пря­моугольных треугольниках стали все чаще исполь­зоваться для решения таких задач практики, как нахождение расстояний до недоступных об$ъектов. Приведем несколько примеров.

Легенда гласит, что Фалес (философ и матема­тик,$ имя которого уже известно учащимся) привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасыва­емой ею тени. Догадка Фалеса заключалась в том, что в течение дня бывает момент, когда длина тени каждого предмета равна высоте самого этого пред­мета. Он дождался момента, когда длина его тени стала равна его росту, и тогда, измерив тень пира­миды, вычислил ее высоту. Сформулируем другую не менее известную задачу:

Задача 1. Определить расстояние от корабля, находящегося в море, до берега (Слайд 22)

Решение. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель — в точке А (рис. 6). Построим прямой угол с вершиной в точке А, откладыва­ем на берегу отрезок АС и делим его пополам точкой В. Затем из точки С передвигаемся по прямой т, перпендикулярной ВС, до т$ех пор, пока не дойдем до точки D, из которой точки К и В видны лежащими на одной прямой. Отме­тим полученную точку как D. Прямоугольные треугольники BCD и ВАК рав­ны, следовательно, АК = CD, а длину отрезка CD можно непосредственно измерить.

$Решение задач о нахождении расстояний до не­доступных объектов, а также задач на вычисление недоступных высот было одним из источников развития тригонометрического знания. К сожале­нию, на момент рассказа об этом учитель почти ничего не может показать учащимся, так как они еще не изучали подобие треугольников, теоремы синусов и косинусов и пр. Однако позже к этим задачам можно вернуться. Поэтому мы приведем дополнительно еще одну очень известную задачу. Ее текст можно найти в трактате китайского мате­матика III в. Лю Хуэя «Математика морского ост­рова». Несколько странное название трактата объ­ясняется тем, ч$то в нем решены различные задачи на определение расстояний до недоступных объек­тов, расположенных на острове, причем точка на­блюдения находится вне его.

Задача Лю Хуэя.

Задача 2. Наблюдают недоступный морской ос­тров (рис.).(Слайд 23)

Для этого установили пару шестов MN и KL одинаково$й высоты в 6 бу (6 шагов). Предыдущий шест от последующего удален на 1000 бу (Л/А). Пусть последующий шест (АХ) вместе с предыдущим (А/УУ) находится на одной прямой с островом. Если отойти от предыдущего шеста по прямой на 123 бу (МР), то глаз челове­ка, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова

Если отойти по прямой от последую­щего шеста на 127 бу (KQ), то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний ко­нец шеста также совпадающим с вершиной остро­ва

$

Какова высота острова (АВ) $и его удаленность от первого шеста (AM).

Решение. Рассмотрим две пары подобных тре­угольников АВР, MNP и ABQ, KLQ. В совре­менных обозначениях запишем:

(*)

$где х = AM.

Приравнивая выражения для АВ, найдем

х = 30750 (бу), АВ= 1506 (бу). Заметим, что в выражениях (*) отношение

есть значения тангенсов углов NPM и

LQK, так что в манипулировании с подобными тре­угольниками уже содержатся предпосыл$ки к пере­ходу к тригонометрическим понятиям.

До сих пор мы рассматривали самую глубинную предысторию зарождения тригонометрического знания, но именно она отразилась в самом слове «тригонометрия», которое буквально означает «из­мерение треугольника». Действительно, термин тригонометрия состоит из двух греческих слов: тригоном, что означает «треугольник» и метрейн, что означает «измерять». Кроме того, данный первич­ный исторический рассказ помогает объединить в сознании учащихся такие темы, как знакомство с прямоугольным треугольником, теорема Пифаго­ра, подобие треугольников, тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. И главное, у учащихся возникает желание посмотреть на эти темы как с исторической, так и с современ­ной точек зрения, т.е. повышае$тся интерес к изу­чению геометрии.

Теперь мы перейдем собственно к моменту, ког­да мы можем обратиться непосредственно к исто­рии тригонометрии. Итак, тригонометрия, как и всякая наука, выра­стала из потребностей человеческой практики, поэтому потребности не ограничивались, как мы упо­минали выше, только лишь пот$ребностями строи­тельства или нахождения расстояний до недоступ­ных объектов. Задачи мореплавания, требовавшие по звездам определять правильный курс корабля, задачи определения по звездам пути при движении караванов в пустыне, задачи земледелия, требовав­шие введения точного календаря, и многие другие обусловили развитие астрономии, а с ней и триго­нометрии. Причем сферическая тригонометрия развивалась наряду с плоской.

По сути, тригонометрия появилась в древности как один из разделов а$строномии. Дело в том, что преобладающей гипотезой о строении Вселенной была геоцентрическая, согласно которой Земля есть шар, расположенный в центре небесной сферы, ко­торая равномерно вращается вокруг своей оси. Светила считаются расположенными на этой сфе­ре. При изучении их движения большое значение приобретают задачи о расположении точек и фигур на сфере. Работы, в которых подобные задачи ре­шаются, получили название сферики. Плоская три­гонометрия при таких условиях отнюдь не играла лишь второстепенную роль по сравнению со сфе­рической тригонометрией. У нее была своя область приложений: помимо решения задач на определе­ние расстояний до недоступных объектов, она яв­лялась частью практической астрономии — фигуры на сфере проектировались на плоскость горизонта, меридиана и т.д., и таким образом многие задачи сводились к плоским случаям.

Отдельные вопросы из тригонометрии уже ус­пешно решали древнегреческие астрономы, одна­ко они рассматривали хорды, а не синусы, косину­сы и другие, как говорили в древности, линии. Если говорить$ точнее, то греческие астрономы рассмат­ривали по сути только синус, вместо которого ис­пользовали хорду, равную удвоенной линии синуса половинной дуги.

Метод составления тригонометрических таблиц состоял в следующем. В основе всех построений астрономов древности находится круг заданного диаметра. На нем рассматривалась единственная тригонометрическая характеристика: длина хорды, стягивающей дугу, соответстствующую данному центральному углу (рис. 8). Задача состояла в со­ставлении таблицы значений этой функции с наи­большей, по возможности, точностью и высокой частотой в посл$едовательности значений аргумен­та. По существу таблицы хорд являются таблицами синусов.

Первые тригонометрические таблицы (таблицы хорд), которые положили начало вычислительн$ой тригонометрии, составил еще во II в. до н.э. древ­негреческий астроном Гиппарх. Венцом же разви­тия астрономии и тригонометрии в Древней Греции можно считать работу «Большое математичес­кое построение астрономии в 13 книгах» («Альма­гест») знаменитого астронома Клавдия Птолемея (II в. н.э.). Сведения по прямолинейной и сфери­ческой тригонометрии изложены в первой книге «Альмагеста». Показывая, как вычислять хорды, Птолемей делил окружность на 360 частей (граду­сов). Он составил такую таблицу синусов (хорд), которая много веков была единственным пособи­ем при решении задач о треугольниках.

Начало учению о т$ригонометрических величинах было положено в Индии, начиная с IVVI вв. Ин­дийские ученые впервые в науке стали употреблять линию синуса как половину хорды, и составили первые тригонометрические таблицы синусов (по­лухорд). Им были известны также основное триго­нометрическое тождество, формулы приведения, формула синуса половинного угла.

Заметим, что греческое слово хорде, от которого происходит наш термин «хорда», буквально озна­чает «тетива лука», «струна». Индийские ученые впервые предложили рассматривать величину по­лухорды (синуса), которую называли архаджива, что буквально означает «половина тетивы лука», но потом стали называть джива, что значит «тетива лука».

Как по примеру индийских математиков не ув$и­деть на рис. 9 лук с натянутой стрелой?

Арабские математики, которые позже (начиная с VIII в.) осваивали накопленные математичес­кие знания, писали слово джива в арабской транскрипции как джиба, что созвучно арабско­му слову джайб, которое дословно означает «па­зуха».

Вместе с военными завоеваниями арабов слово «пазуха» для обозначения полухорды в тригоно­метрии попало в Европу$ (XXII вв.), где евро­пейские ученые перевели его на латынь как «си­нус». Поскольку латинский язык считался обще­признанным научным языком в Европе, то тер­мин «синус» нашел там широкое распостранение и сохранился до настоящего времени. Кста­ти, этот термин применяется не только в мате­матике: сейчас в медицине заболевание пазух носа называют синуситом. Индийские ученые рассматривали линии синуса BD и косинуса OD $(рис. 10) только для острого угла.

Интересно заметить, что европейские математики XIIXVI вв. часто называли синус sinus rectus (пря­мой синус), а радиус тригонометрической окружнос­$ти sinus totus, т.е. весь (полный) синус. Слово «косинус» — это сокращение латинского выра­жения complementy sinus, т.е. «дополнительный синус» или, иначе, «синус дополнительной дуги»; вспомни­те: cos a = sin (90° — а).

В IXX вв. центр математических исследований, значит, и центр развития тригонометрического зна­ния, переместился в Среднюю Азию, где трудами арабских математиков тригонометрия впервые вы­делилась из астрономии как самостоятельная на­ука. В частности, ученые стран ислама ввели новые тригонометричекие величины: тангенс и котангенс. В трактате «Плоские четырехсторонники» ученого-энциклопедиста и государственного деятеля XIII в. Насирэддина Туей плоская и сферическая тригоно­метрия выступают как самостоятельные предметы. Для сравнения, в Европе тригонометрия достигла ‘этого уровня, стала успешно развиваться и тракто­ваться как $самостоятельная наука лишь в XV в., и начало этому было положено трудами немецкого ас­тронома и математика, профессора Региомонтана.

Понятия «тангенс» и «котангенс», как и первые таблицы этих новых тригонометрических величин, родились не из рассмотрения тригонометрической окружности, а из учения о солнечных часах — гномоники. Солнечные часы первоначально представ­ляли собой шест, вертикально воткнутый в землю (греческое слово гномон -$ название этого шеста — означает «распознаватель»). Время отсчитывалось подлине и направлению тени, отбрасываемой ше­стом (рис. 1П.

Один из современников ал-Хорезми (IX в.)’ математик и астроном Ахмед ал-Мазави, названный «Вычислитель» (ал-Хабаш, ал-Хасиб), занимаясь гномоникой, констатировал, что отношение дли­ны тени и к постоянной длине / гномона солнеч­ных часов меняется в зависимости от высоты Солн­ца, измеряемой углом (и), соответствую­щих значениям углов т.е. (в со­временной сим$волике) u = /ctgq>, или (если учесть, что Эта таблица дала возможность определять высоту Солнца по длине тени. Отно­шение длины тени к длине шеста определяет высо­ту солнца над горизонтом (рис. 12, а).

$

Для случая горизонтального гномона, перпенди­кулярного к вертикальной стене (рис. 12, ff), ал-Хабаш составил таблицу обращенных теней:

$

Живший в конце X в. в Багдаде Абу-ль-Вафа в сво­ей «Совершенной книге» — своем «Альмагесте»2 — вводил тригонометрические линии не через пря­моугольный треугольник, а с помощью окружнос­ти, определяя, например, тангенс как отрезок ка­сательной к окружности. В некоторых местах Абу-ль-Вафа принимал радиус окружности за единицу.

Начиная с XIVXV вв. центр математических исследований перемещается в Европу. В XIIIXIV вв. при переводе арабских произведений на ла­тинский язык новые тригонометрические функции котангенс и тангенс были названы umbra rectaпрямая тень, и umbra versaобратная тень. Изве­стно, что линию тангенсов уже использовал в сво­их работах английский математик Томас Брадвар-дин (1290-1349).$

Термин tangens (от лат. касающийся [отрезок ка­сательной]) был введен только в 1583 г. датским математиком Томасом Финком в связи с ролью этой линии на тригонометрической окружности. Термин «котангенс» образован по аналогии с тер­мином «косинус», и встречается впервые в 1620 г. у английского ученого Эдмунта Гутера.

В Европе первое сочинение, в котором тригономе­трия рассматривалась как самостоятельная ма$тематическая дисциплина, написал в 1462—1464 гг. немец­кий математик и астроном Региомонтан. Он называл свой труд «Пять книг о треугольниках всех видов». В это время тригонометрия no-прежнему продолжала формироваться и развиваться под определяющим влиянием астрономии. В XVXVI вв. усовершенствовались таблицы тригонометрических функций, которые были необходимы астрономам, разрабаты­вались все новые вычислительные приемы3, рассма­тривались все более сложные зада$чи решения плос­ких и сферических треугольников, оттачивалась тех­ника работы с тригонометрическими линиями.

В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540—1603) использовал тригонометрию для ре­шения кубического уравнения. В некоторых его результатах устанавливалась связь между тригоно­метрией и алгеброй. Кроме того, он положил на­чало буквенным обозначениям в тригонометрии. Таким образом, на пороге XVII в. в развитии тригонометрии наметилось новое направление — ана­литическое. Если до этого главной целью триго­нометрии считалось решение треугольников, вы­числение эле$ментов геометрических фигур, а уче­ние о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то развитие нового (ана­литического) направления привело к тому, что тригонометрия постепенно стала одной из глав математического анализа. Начало этого преобра­жения тригонометрии связано с именем знамени­того ученого много лет работавшего в Петербурге Леонарда Эйлера (1707—1783). Эйлер усовершен­ствовал как символику, так и содержание триго­нометрии. Перечислим некоторые его нововведе­ния в этой области.

1. До Эйлера совсем редко рассматривались три­гонометрические функции дуг, превышающих л. Лишь в его трудах разрабатывается учение о триго­нометрических функциях любого аргумента и впер­вые ясно изложен вопрос о знаках тригонометри­ческих функций в каждом квадранте.

2. В отличие от своих предшественников Эйлер исключил и$з своих формул Rцелый синус (sinus totus), принимая R = 1 и упрощая, таким образом, записи и вычисления.

3. Понимая аргумент тригонометрической функ­ции не только как угол или дугу, а как любую чис­ловую величину, Эйлер впервые стал систематиче­ски излагать тригонометрию аналитическим путем. До него каждая тригонометрическая теорема дока­зывалась отдельно на основании соответствующе­го каждому случаю геометрического чертежа. Эй­лер же выводил теоремы, исходя из небольшого числа основных соотношений.

$4. Для обозначения тригонометрических функ­ций Эйлер использовал символы sinx, cosx, tangx, cotjf и т.д., а также ввел употребляемые поныне обозначения а, Ь, с для сторон и А, В, С для соответствующих противоположных углов треуголь­ника ABC, что способствовало появлению единой символики в тригонометрии.

$5. Эйлер стал рассматривать тригонометрию как науку о тригонометрических функциях и придал ей современный вид.

Таким образом, именно имя Эйлера должен по­мнить учащийся, который учится работать с триго­нометрической окружностью, выводит формулы тригонометрии, учится решать тригонометрические уравнения и неравенства, изучает свойства триго­нометрических функций.

В наше время тригонометрия больше не рассма­трива$ется как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть — учение о тригонометричес­ких функциях — является частью более общего, по­строенного с единой точки зрения учения о функ­циях, изучаемых в математическом анализе. Другая же часть — решение треугольников — рассматрива­ется как глава геометрии.

Третья часть-это широкое применение в других областях, например, в физике.

6. Практическая работа.

Н

айдите коэффиц$иент трения между вашей ручкой и бумагой

$

7. Итог урока. Задание на дом:

Это хорошо решить!

  1. Решите уравнение:

а) (2х-3)│sin x│=sin x;

б)

$ 2. Как влияет разбег на дальность полета мяча брошенного под углом к горизонту?

Домашнее задание.

Как влияет разбег на дальность полета мяча, брошенного под углом к горизонту? Пусть Δl –увеличение дальности полета за счет разбега. Полагая, что за счет разбега мячу сообщается дополнительная горизонтальная скорость, а вертикальная составляющая практически не меняется, получаем где υ0 – начальная скорость броска, l дальность полета без разбега вся дальность полета будет l+$Δl.

Используемая литература:

$1. Власова И.Н., Малых А. Е. Очерки по истории эле­ментарной геометрии. (Материалы для спецкурса по геометрии.) — Пермь, 1998.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе: VIIVUI кл. — М: Просвещение, 1982.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IXX кл. — М.: Прос$вещение, 1983.

4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1994.

5. Чистяков В.Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. — М.: Учпедгиз, 1960.$

6. Мордкович А.Г., П.В. Семенов Алгебра и начала анализа 10 класс (профильный уровень)М: Мнемозина 2005

7. Б.И. Вершинин, С.Н. Постников. Сборник задач по физике .Томск. Пеленг,1997

8. В.А. Касьянов . Физика 10 (профильный уровень)

$

Список использованной литературы

1. Иванов Б.А., Петров В.И. Литература$. 10-11 класс. Ч.2.- М.: ООО «Обучение», 2006

2. Григорьев М.И. Анализ стихотворного текста – М.: «Ученик», 2003.

$
Использованные материалы и Интернет-ресурсы

1. Видеокассета «Культура России. Серебряный век», 2006 г.
2. Иванов И.С. «Великая Россия», CD, 2007 г.
3. Петров Т.И., песня «Россия»
4. http://sitename.ru


Еще записи

Leave a Comment