Конспект урока по Математике «Перестановки» 11 класс

Муниципальное образовательное учреждение

Светлогорская средняя общеобразовательная школа.

Конспект открытого урока.

$Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 11

Тема урока: Перестановки.

Тип урока: комбинированный.

$Выполнила: учитель математики: Ковлягина Н.А.

Цели:

Образовательные:

— рассмотреть один из видов комбинаций – перестановки, вывести формулу для нахождения числа перестановок, научиться решать задачи с перестановками;

Развивающие:$

— развивать элементы комбинаторного мышления, логическое мышление;

— развивать способности учащихся реализовывать полученные знания при выполнении заданий различного уровня сложности;

— развивать математическую интуицию, самостоятельность, инициативу, математическую речь.

Воспитательные:

— формировать у учащихся таких черт личности как чувство$ взаимоответственности, чувство коллективизма, наблюдательность, усидчивость, чувства самоанализа, самооценки.

Оборудование:

Учебник; Ю.М.Колягин «Алгебра и начала математического анализа» под редакцией А.Б.Жижченко, М.: Просвещение, 2010г., листы с тестом и бланки ответов, напечатанные памятки, карточки –«кост$и» для игры «Домино», интерактивная доска .

План урока.

  1. Организационный момент.(1 мин)

  2. Сообщение темы и цели урока.(1 мин)

  3. $

  4. Проверка домашнего задания.(2 мин)

  5. Проверка знаний. Тест. (11 мин)

  6. Изучение нового материала.(10 мин)

  7. Закрепление.(7 мин)

  8. Работа в паре.( 10 мин)

  9. Домашнее задание.(2 мин)

  10. $Итоги урока.(1 мин)

Ход урока:

  1. Организационный момент.

Здра$вствуйте, ребята! Садитесь.

Проверяется готовность учащихся к уроку.

  1. Сообщение темы и цели урока.

— Ребята, на предыдущих уроках мы рассмотрели некоторые комбинаторные задачи, и выяснили, что есть три основных вида комбинаций – перестановки, размещения и сочетания. Сегодня мы с вами более подробно рассмотрим первый вид комбинаций – перестановки, выведем формулу для нахождения числа перестановок, будем учиться решать задачи с перестановками.

  1. Проверка домашнего задания.

— Вам на дом были заданы № 13,

$

По правилу умножения: 10·9 = 90 – визитных карточек.

— Упростить:

  1. Проверка знаний.

Тес$товая работа.

Сейчас вы будете выполнять тест. Решение записываете в тетрадь, а ответы фиксируете в бланке ответов. На всю работу 10 минут.

(Бланки собираются, на экране демонстрируется таблица ответов и критерии оценок. Учащиеся проверяют свои работы, выполненные в тетрадях, и сами себе выставляют оценки согласно указанным критериям).

Тест.

  1. Как называется раздел математики, который занимается решением задач, в которых требуется из имеющихся элементов сос$тавить различные наборы по определённому правилу, подсчитать их количество?

1) тригонометрия 2) статистика 3) комбинаторика 4) кибернетика.

  1. Дано утверждение: «Пусть некоторое множество состоит из m различных элементов одного вида и n разных элементов другого вида. Тогда число пар, состоящих из одного элемента первого вида и одного элемента второго вид$а, равно mn».Как оно называется?

1) правило сложения 2) правило умножения 3) правило вычитания.

  1. Как в математике называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно?

  1. Выбрать верную форму записи 6! :

1)5·6! 2) 4!·5·6 3) 3!·2! 4) 1·2·3

  1. Вычислить : 1) 4 2) 40 3) 4).

  1. Упростить :

1) 1 2) n+1 3) (n+1)! 4) .

  1. Сколько различных 2х–значных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6?

$

1) 8 2) 6 3) 12 4) 27.

  1. Сколько различных 3х-значных чисел можно записать с помощью цифр 0,7,8, если цифры могут повторяться?

1) 9 2) 8 3) 27 4) 18.

9. У Ани имеется 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Ани?

1) 5 2) 15 3) 3 4) 10.

10. В компьютере каждый символ (буква, цифра, спец.знак) кодируется последовательностью из 8 нулей и единиц (0 и 1). Сколько различных символов можно закодировать $таким образом?

1) 124 2)16 3) 256 4) 64.

  1. Изучение нового материала.

Рассмотрим следующие задачи:

— Даны 3 буквы: А,В,С. Составить все возможные комбинации из этих букв. (АВС, АСВ, ВСА, ВАС, САВ, СВА — 6 комбинаций, или по правилу умножения 3·2·1=6).

— Сколькими способами можно расставить на полке рядом 5 разных книг? (По правилу умножения 5·4·3·2·1=120.) Такие комбинации, сост$оящие из одного и того же количества элементов, отличающиеся только их расположением, называют перестановками. Сформулируем определение.

Перестановками из n разных элементов называются соединения, которые состоят из n элем$ентов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Обозначение – Рn , где nколичество элементов, (Читается «Пэ из эн») (Р – первая буква франц.слова Permutation – перестановка)

Как же находить число перестановок?

Вернёмся к предыдущим задачам.

    1. Р3=3·2·1=1·2·3=6=3!

    2. P5=5·4·3·2·1=120=5!

Если в перестановках участвует n элементов?

Pn=n·(n-1)(n-2)(n-3)…3·2·1=n!, значит

Число перестановок из $n-элементов вычисляется по формуле: Рn= n!

( На экране демонстрируются основные определения, формулы и выводы).

  1. Закрепление.

Выполнение заданий. (Высвечиваются на экран).

$Теперь рассмотрим следующие задачи и приёмы, используемые при решении комбинаторных задач:

Рассмотрим № 21. Какие приёмы можно использовать при решении

данных задач?

Учащимся раздаются памятки:

«Приёмы, используемые при решении комбинаторных задач».

1. «Фиксирование» элементов. Применяется, когда в условии задачи говорится, что один или $несколько элементов должны занимать определённые места в формируемой комбинации.

  • Нужно уменьшить количество исходных э$лементов на количество фиксированных элементов.

  • Найти количество перестановок нефиксированных элементов.

  • Полученное кол-во перестановок нефиксированных элементов умножаем на число перест-к «фиксированных» элементов между собой на их местах. В результате получаем требуемое число перестановок.

Например: Сколько различных 4х-значных чисел, начинающихся с двух нечётных цифр, можно составить из цифр 1,2,3,4,6,8 (цифры в числе не повторяются)?

Исходное множество содержит 6 цифр, из которых только 2 нечётных. Эти две цифры должны стоять в двух старших разрядах составляемого числа. На два остающихся места могут быть выбраны любые 2 из остающихся 4 цифр; количество способов равно 4·3=12. Две первые нечётные цифры могут быть переставлены 2 способами (13 и 31), поэтому общее количество 4х-значных чисел равно 2·12=24. Ответ$: 24 числа.

2. «Склеивание» элементов. Применяется, когда в задаче требуется, чтобы 2 или более элементов в составляемой комбинации всегда стояли рядом. Все эти элементы будем рассматривать как один элемент («склеенный»).

  • Нужно уменьшить количество исходных элементов на количество «склеенных» элементов.

  • Найти количество перестановок оставшихся элементов на оставшихся местах

  • Полученное количество перестановок умножаем на число перестановок «склеенных» элементов между собой на их местах. В результате получаем требуемое число перестановок.

Например: Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди которых 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

$

Условно будем считать 2 книги одного автора единой книгой («склеены»). Тогда количество способов расстановки условных 7 книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов: Р7=120·42=5040.

Количество перестановок «склеенных» элементов – 2 . Поэтому 504$0·2=10080 — общее число способов расстановки книг на одной полке. Ответ: 10080 способами.

  1. Работа в парах.

Сейчас мы будем играть в математическое «Домино». У вас на столах лежат карточки – «кости» с заданиями и ответами.

Ваша задача – выложить цепочку из карточе$к. Время для работы – 10-15 минут. По истечении времени, оценивается работа пар: на обратной стороне карточки, на которой обрывается цепочка, записана оценка работы: «неудовлетворительно», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично». Перевернув последнюю карточку, учащиеся получают оценку своей работы.

Если останется время можно решить следующие задания:

8. Домашнее задание.

§ 3, № 20, 21, 24(2). Инструктаж по выполнению домашнего задания.

9. Итоги урока.

Выставляются оценки учащимся, проводится анализ их ответов.

Что мы сегодня нового узнали на уроке?

$Чему мы научились на уроке?

Достигли ли цели урока?

Что понравилось на уроке, что не понравилось?

$

ПРИЛОЖЕНИЕ.

$720

Сколькими способами можно с помощью букв

А, В, С, D и E обозначит вершины 5х угольника?

120

$

Сколько различных нечётных

5х значных чисел можно записать с помощью цифр 2,3,4,6, 8, цифры не повторяются.

Вычислите

Р25

$

Сколькими способами

6 человек могут разместиться на

6-местной скамейке?

122

Сколько различных правильных (с точки зрения русского языка) фраз можно составить из фразы «Во дворе гуляет кошка», изменяя порядок слов в данном предложении?

$

Решить уравнение отн$осительно n:

24

6

2

4

ПАМЯТКА.

$

Приёмы, используемые при решении комбинаторных задач.

  1. «Фиксирование» элементов. Применяется, когда в условии задачи говорится, что один или несколько элементов должны занимать определённые места в формируемой комбинации.

  • Нужно уменьшить$ колич-о исходных элементов на колич-о фиксиров-ых элементов.

  • Найти количество перестановок нефиксированных элементов.

  • Полученное кол-во перестановок нефикс-х элементов умножаем на число перест-к «фикс-ых» элементов между собой на их местах. В результате получаем требуемое число перестановок.

Например: Сколько различных 4х-значных чисел, начинающихся с двух нечётных цифр, можно составить из цифр 1,2,3,4,6,8 (цифры в числе не повторяются)?

Исходное множество содержит 6 цифр, из которых только 2 нечётных. Эти две цифры должны стоять в двух старших разрядах составляемого числа. На два остающихся места могут быть выбраны любые 2 из остающихся 4 циф$р; количество способов равно 4·3=12. Две первые нечётные цифры могут быть переставлены 2 способами (13 и 31), поэтому общее количество 4х-значных чисел равно 2·12=24. Ответ: 24 числа.

  1. «Склеивание» элементов. Применяется, когда в задаче требуется, чтобы 2 или более элементов в составляемой комбинации всегда стояли рядом. Все эти элементы будем рассматривать как один элемент («склеенный$»).

  • Нужно уменьшить колич. исходных элементов на колич.-о «склеенных» элементов.

  • Найти количество перестановок оставшихся элементов на оставшихся местах

  • Полученное количество перестановок умножаем на число перестановок «склеенных» элементов между собой на их местах. В результате получаем требуемое число перестановок.

Например: Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди которых 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Условно будем считать 2 книги одного автора единой книгой («склеены»). Тогда количество способов расстановки условных 7 книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов: Р7=120·42=5040.$

Количество перестановок «склеенных» элементов – 2 . Поэтому 5040·2=10080 — общее число способов расстановки книг на одной полке. Ответ: 10080 способами.

Еще записи

Leave a Comment